На главную страницу НМУ

Вадим Юрьевич Калошин (University of Maryland)
Герасим Юрьевич Кокарев (University of Leeds)
Алексей Викторович Пенской (МГУ, НИУ ВШЭ, НМУ, Interdisciplinary Scientific Center Poncelet (ISCP, UMI 2615))
Иосиф Викторович Полтерович (Université de Montréal)

Современные задачи спектральной геометрии

Спецкурс читается с 17:30
по понедельникам (27 марта, 3, 10, 17 апреля) в ауд.304
по средам (29 марта, 5, 12, 19 апреля) в ауд.310
по пятницам (31 марта, 7, 14, 21 апреля) в ауд.310

Примерная программа курса

I. Иосиф Викторович Полтерович (27, 29, 31 марта и 3 апреля)

Спектральная геометрия задачи Стеклова

1. Постановка задачи Стеклова. Основные свойства собственных значений и собственных функций. Изопериметрические оценки для собственных значений.

2. Асимптотические свойства собственных значений задачи Стеклова на многообразиях с границей. Спектральные инварианты. Спектральная жёсткость диска и трехмерного шара. Примеры изоспектральных многообразий.

3. Задача Стеклова на областях с особенностями. Влияние углов на спектральные асимптотики. Приложения к гидродинамике. Асимптотика собственных значений задачи о колебании жидкости в двумерии.

II. Герасим Юрьевич Кокарев (5 и 7 апреля)

1. Минимальные подмногообразия и задачи на собственные значения

1.1. Предварительные сведения об операторе Лапласа-Бельтрами на многообразиях.

1.2. Минимальные подмногообразия в пространствах постоянной кривизны. Дифференциальные уравнения, описывающие минимальные погружения.

1.3. Приложения к геометрии минимальных подмногообразий.

1.4. Связь с задачей об оптимизации собственных значений.

2. Неравенства на собственные значения на минимальных подмногообразиях

2.1. Конформный объем и первое собственное значение. Оценки на высшие собственные числа.

2.2. Минимальные подмногообразия в гиперболических пространствах, асимптотический объём и оценки на собственные числа.

2.3. Минимальные подмногообразия в евклидовых пространствах. Конечная полная кривизна, концы минимальных подмногообразий и собственные значения оператора Лапласа-Бельтрами. Обобщенная гипотеза Пойя.

III. Вадим Юрьевич Калошин (10, 12 и 14 апреля)

1. Можно ли услышать форму барабана? Спектр оператора Лапласа и спектр длин, волновой след и их отношения.

2. Бильярды в выпуклых плоских областях, каустики, бильярдные отображения, множества Обри-Мэзера.

3. Подковы и хаос для бильярдных отображений.

4. Интегрируемые бильярдные отображения, теорема Понселе.

5. Возмущение эллипсов и рациональная интегрируемость.

6. Спектральная жесткость для плоских бильярдов.

IV. Алексей Викторович Пенской (17, 19 и 21 апреля)

1. Оценки на кратности собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами и экстремальные метрики.

2. Геометрическая оптимизация собственных чисел оператора Лапласа-Бельтрами на сфере и проективной плоскости.