Михаил Сергеевич Вербицкий

Комплексно-аналитические пространства

Теория комплексно-аналитических пространств параллельна комплексной алгебраической геометрии: почти все понятия алгебраической геометрии имеют комплексно-аналитические аналоги, но их доказательства существенно отличаются. Венцом этой науки является теорема Чжоу, утверждающая, что комплексные подмногообразия проективного пространства алгебраичны. Я расскажу введение в многомерный комплексный анализ для студентов, освоивших ТФКП, основы топологии и анализа на многообразиях, остановлюсь на локальной параметризации комплексных многообразий (комплексно-аналитический аналог леммы Нетер о нормализации) и закончу теоремой Чжоу. Если хватит времени, я расскажу про когерентные пучки и конструкцию нормализации по Ока.

Основные факты я напомню, но без знакомства с основами комплексного анализа, анализа на многообразиях и алгебры (в том числе и коммутативной) будет непонятно.

Содержание курса, если вкратце, сводится к "рассказать теорему Чжоу о том, что всякое комплексное подмногообразие в проективном многообразии алгебраично", но по дороге расскажу какие-то куски многомерного комплексного анализа; какие именно - зависит от состава участников.

Программа курса

0. Пучки, многообразия, комплексные многообразия, голоморфные функции, многомерная формула Коши.

1. Подготовительная теорема Вейерштрасса. Теорема Вейерштрасса о делимости. Теорема Ласкера о нетеровости кольца ростков голоморфных функций.

2. Комплексно-аналитические множества и комплексно-аналитические пространства. Локальная параметризация комплексно-аналитических многообразий (лемма Нетер о нормализации).

3. Теорема Реммерта о собственном отображении и теорема Реммерта-Штейна о продолжении. Теорема Чжоу.

4* Когерентные пучки в аналитической категории. Теорема Ока.

5* Нормальные комплексно-аналитические пространства. Нормализация.

6* Пучки Монтеля. Конечномерность когомологий когеретных пучков на компакте по Гротендику.

Литература

Подробности можно найти в учебнике
Демайи https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf
"Complex analytic and differential geometry".

Также:

A. Grothendieck, Theoremes de finitude pour la cohomologie des faisceaux, Bull. Soc. Math. France 84 (1956), 1-7.

Gunning, R.C., Rossi, H. [1965] - Analytic functions of several complex variables.

Grauert, H., Remmert, R. [1984] - Coherent analytic sheaves.

Реммерт Р., Петернел Т., Грауэрт Г. Комплексный анализ - многие переменные - 7 (1996, ВИНИТИ)

Грауэрт Г., Реммерт Р. - Теория пространств Штейна

Спецкурс читается в ауд.306 матфака ВШЭ по субботам с 17:00.
Для заказа пропуска пишите на verbit2000 AT gmail ТОЧКА com