Миша Вербицкий

Основы комплексной алгебраической геометрии

Алгебраическая геометрия может быть постигнута двумя независимыми способами. Вы можете вывести все основные результаты из коммутативной алгебры, как это делали классики-итальянцы; это подход элементарный, но неинтуитивный и требующий трудоемких вычислений. Вместо этого (по предложению Уильяма Ходжа) можно выводить результаты алгебраической геометрии из топологии и дифференциальной геометрии: теории гармонических форм (известной как "теория Ходжа"), комплексного анализа и алгебраической топологии. Получается много проще и интиутивнее, при условии, что студент в состоянии освоить тяжелую математику, которая служит фундаментом для теории Ходжа. Другое ограничение теории Ходжа - большинство аргументов работает только в характеристике 0, и для желающих работать в характеристике p приходится придумывать отдельные методы доказательства ключевых теорем (точнее, тех из них, которые верны).

В курсе "основы комплексной алгебраической геометрии" я расскажу теорию Ходжа и ту часть комплексной алгебраической геометрии, которая из нее выводится; науки, которые основаны на комплексном анализе и на коммутативной алгебре, я рассказывать не буду.

Программа курса

Гильбертовы пространства, компактные операторы, спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов.
Символ оператора, эллиптические операторы, фредгольмовы операторы. Теорема Атьи-Зингера (без доказательства).
Анализ Фурье на торе: соболевские нормы, лемма Реллиха, лемма Соболева.
Фредгольмовость для оператора Лапласа. Диагонализация оператора Лапласа. Эллиптическая регулярность для уравнения Лапласа.
Представимость когомологий де Рама гармоническими формами. Применения: когомологии компактных групп Ли, комплексных проективных пространств, грассманианов.
Комплексные структуры и разложение Ходжа на дифференциальных формах.
Почти комплексные многообфразия, комплексные могообразия, теорема Ньюлендера-Ниренберга, ее доказательство для вещественно-аналитических многообразий.
Эрмитовы метрики, кэлеровы многообразия, примеры и основные свойства кэлеровых многообразий. Форма Фубини-Штуди. Кэлеровость проективных пространств и грассманианов.
Параллельность тензора комплексной структуры на кэлеровом многообразии.
Алгебра суперсимметрий кэлерова многообразия. Тождества Кэлера и разложение Ходжа на когомологиях. Теорема Лефшеца, sl(2)-тройки, разложение Лефшеца на когомологиях.
Потоки и обобщенные функции. Пушфорвард потока. Интегральные ядра. Ядро Коши.
Лемма Пуанкаре-Дольбо-Гротендика. Когомологии Дольбо. Геометрическая интерпретация разложения Ходжа. Теорема Хартогса.
Голоморфные дифференциальные формы и их свойства. Бирациональные отображения. Раздутие. Инвариантность голоморфных дифференциальных форм относительно бирациональных отображений. Каноническое расслоение и его обратный образ при раздутии.
Голоморфные расслоения. Связность Черна, ее существование и единственность, ее кривизна. Линейные расслоения, экспоненциальная точная последовательность, первый класс Черна.
Алгебра суперсимметрий кэлерова многообразия, ее действие на дифференциальных формах с коэффициентами в расслоении. Тождества Кодаиры-Накано. Теорема Кодаиры-Накано о занулении когомологий.
Глобально-порожденные, обильные и очень обильные расслоения. Проективное вложение. Кэлеровость раздутия. Применение зануления когомологий к обильности расслоений. Теорема Кодаиры о проективности кэлеровых многообразий. Алгебраическая размерность многообразий. Мойшезоновы, комплексные неалгебраические и некэлеровы многообразия.
(*) Абелевы многообразия и комплексные торы. Отображение Альбанезе и его свойства. Кривая и ее якобиан. Гиперэллиптические кривые. Комплексные кривые и их плоские развертки. Явная конструкция голоморфных дифференциалов на комплексной кривой.
(*) Линеаризуемые автоморфизмы. Структурная теорема для группы комплексных автоморфизмов проективного многообразия.
(*) Теорема Калаби-Яу, многообразия Калаби-Яу, классификация голономий.

Темы, обозначенные (*), будут изучены, если хватит времени.

От студентов потребуется понимание анализа (ряд Тэйлора, дифференциальные формы, дифференциал де Рама, лемма Пуанкаре, теорема Стокса, ряды Фурье, многообразия), комплексного анализа в размерности 1, и дифференциальной геометрии (векторные расслоения и связности, тензоры, римановы метрики, связность Леви-Чивита, потоки диффеоморфизмов, группы Ли, теорема Фробениуса). Также нужно знать, что такое пучки, резольвенты, когомологии пучков. Основные определения я дам, но времени на освоение этих наук будет очень мало (впрочем, если большинство слушателей не знает какой-то базовой науки, ее придется изучать в подробности).

Курс читается дважды в неделю, в субботу вечером и в среду вечером, на матфаке ВШЭ. После лекций происходит прием задач. Первое занятие - 24 января. К курсу выдаются листочки, очень много. Я настоятельно советую изучать и по возможности сдавать эти листочки: шансов успешно сдать экзамены, не сдавая листочки, у большинства студентов не будет.

Впрочем, я не планирую рассказывать ничего, выходящего за пределы первого тома "Основ алгебраической геометрии" Гриффитса-Харриса, и слушатель, который хорошо освоил Гриффитса-Харриса (и умеет решать нетрудные задачи по нему) легко сдаст и мой курс.

Литература:

Lectures on Kahler geometru, Andrei Moroianu
http://www.math.polytechnique.fr/~moroianu/tex/kg.pdf

Complex analytic and differential geometry, J.-P. Demailly
http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~demailly/manuscripts/agbook.pdf

Lectures on Kahler manifolds, W. Ballmann
http://people.mpim-bonn.mpg.de/hwbllmnn/notes.html

C. Voisin, ``Hodge theory''.

D. Huybrechts, ``Complex Geometry - An Introduction''

A. Besse, ``Einstein manifolds''.