Семинар «Динамические системы» под руководством Юлия Сергеевича Ильяшенко и Ивана Сергеевича Шилина будет проходить по пятницам с 18:30 до 21:30.
Объявления о каждом заседании будут рассылаться заранее по списку участников.
С 23 октября семинар будет проходить дистанционно в зууме.
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Пятница, 14-го и 21-го мая 2021, начало в 18:30 по Москве,
в Zoom
(Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru)
На первом докладе я расскажу о ренормализации для унимодальных
отображений и об универсальности Фейгенбаума, а на втором --- о
ренормализации для некоторых классов взаимно однозначных отображений
окружности (отображения с изломом, критические отображения,
диффеоморфизмы).
На втором докладе я расскажу в том числе о новых
результатах (получены в соавторстве с Ю.Кудряшовым, К.Ханиным,
М.Ямпольским).
Предварительных знаний не требуется.
Пятница, 23 и 30 апреля 2021, начало в 18:30 по Москве,
ОЧНО в
ауд. 110 матфака ВШЭ (Усачева 6) и виртуально
(Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru)
Несколько лет назад Юлий Сергеевич нашёл типичное структурно неустойчивое 3-параметрическое семейство векторных полей на плоскости ("слеза сердца", Ильяшенко-ЮК-Щуров).
В первом докладе (23.04) я расскажу об этом примере (точнее, в основном речь пойдёт о его модификациях "очки" и "уши", предложенных Никитой Солодовниковым), а также о его модификациях, дающих функциональные инварианты классификации и другие интересные эффекты.
Во втором докладе (30.04) я расскажу, как из "деталей конструктора", о которых пойдёт речь 23-го, собрать пример векторного поля конечной коразмерности, у которого нет структурно устойчивых деформаций ни в какой конечной размерности.
От слушателей предполагается знание основных типов особых точек векторных полей на плоскости, а также некоторых слов из анализа/дифференциальной геометрии/топологии (гомеоморфизм, диффеоморфизм, многообразие). ___________________
Пятница, 16 апреля 2021, начало в 18:30 по Москве,
ОЧНО в
ауд. 110 матфака ВШЭ (Усачева 6) и виртуально
(Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru)
Операторами Нийенхейса называются операторные поля с нулевым кручением Нийенхейса. Такие операторы возникают в дифференциальной геометрии, математической физике, теориях конечномерных и бесконечномерных интегрируемых систем. Важной частью изучения геометрии таких операторов (этим занимается Нийенхейсова геометрия) является вопрос поведения операторов в особых точках. В докладе будет рассказано о замечательном классе особых точек оператора Нийенхейса — так называемых точках скалярного типа. Для таких точек естественным образом формулируется задача линеаризации, очень похожая на задачу линеаризации векторных полей. При этом источником информации о поведении операторного поля в окрестности является так называемая левосимметрическая алгебра, существующая на касательном пространстве к точке скалярного типа. Докладчик расскажет об имеющихся на данный момент результатах, открытых проблемах и одной замечательной задаче линеаризации векторного поля особого вида на плоскости.
Никаких специальных знаний не требуется.
Пятница, 9 апреля 2021, начало в 18:30 по Москве,
ОЧНО в
ауд. 110 матфака ВШЭ (Усачева 6) и виртуально
(Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru)
Многие ощущали досаду при попытках отклеить двусторонний скотч - когда он, отклеенный от одного пальца, тут же липнет к другому. Нечто в таком роде может испытать и тот математик, который попытается избавиться от касаний устойчивого и неустойчивого многообразий седла (или разных сёдел): стоит убрать его в одном месте, как оно возникает в другом. Это довольно неожиданный эффект, во многом изменивший взгляд на динамические системы в целом.
Шелдон Ньюхаус обнаружил это явление и показал, как оно порождает бесконечное количество сосуществующих стоков (на локально-типичном множестве в пространстве динамических систем). Эта картина тоже очень необычна и порождает дальнейшие вопросы, в том числе связанные со знаменитой гипотезой Палиса, о чём я постараюсь немного сказать. Некоторые области Ньюхауса порождают также чрезвычайно интересное явление, называемое "универсальной динамикой"; это означает, грубо говоря, что малым возмущением произвольного диффеоморфизма в этих областях можно получить на маленьком диске любое локально-типичное свойство в классе динамических систем.
С другой стороны, как установили С. В. Гонченко, Д. В. Тураев и Л. П. Шильников, при наличии у нас двух сёдел с касанием многообразий и некоторых дополнительных ограничениях на собственные значения можно ожидать сосуществования одновременно бесконечного количества и стоков, и источников, что и удалось доказать. Я постараюсь изложить ключевые моменты доказательства, которые можно изобразить в картинках, а заодно объяснить, какие дальнейшие мысли навевает пересечение глобальных аттрактора и репеллера.
Для контекста - ссылка на бывший ранее на семинаре доклад С.В. Гонченко, частично касавшийся и этого вопроса:
https://www.youtube.com/watch?v=jsBiFCJBpUQ&list=PLg3X2L31X9-PfQJ1nV1L8qMQkvTeoPbCi&index=18
Пятница, 2 апреля 2021, начало в 18:30 по Москве ОНЛАЙН,
(Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru)
Пятница, 19 марта 2021, начало в 18:30 по Москве,
ОЧНО в
ауд. 110 матфака ВШЭ (Усачева 6) и виртуально
(Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru)
Пятница, 12 марта 2021, начало в 18:30 по Москве,
на Факультете математики
(аудитория будет названа позже; для прохода в здание нужно иметь паспорт и назвать семинар, на который идете),
планируется трансляция по обычному адресу
(Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru)
Доклад начнется с метода усреднения для возмущений одночастотных систем вдали от сепаратрис. После этого мы обсудим прохождение через резонансы для возмущений двухчастотных систем вдали от сепаратрис (по статье А.И. Нейштадта "Усреднение, прохождение через резонансы и захват в резонанс в двухчастотных системах"). Для таких систем возможен так называемый захват в резонанс (когда возникший резонанс между частотами сохраняется долгое время), однако, для большинства начальных условий захват в резонанс не происходит, и решение приближенно описывается решением усредненной системы. При описании динамики вблизи резонансов возникает вспомогательная система, являющаяся малым возмущением простого дифференциального уравнения второго порядка (уравнение типа маятника с постоянным крутящим моментом).
Далее мы кратко поговорим о прохождении через сепаратрисы для одночастотного случая и перейдем к прохождению через сепаратрисы для двухчастотных систем (это work in progress совместно с А.И. Нейштадтом). Для таких систем резонансы невозмущенной системы накапливаются к ее сепаратрисам. Многие функции, возникающие при применении метода усреднения, стремятся к бесконечности вблизи сепаратрисы, и это ведет к дополнительным трудностям при изучении прохождения через резонансы.
Пятница, 5 марта 2021, начало в 18:30 по Москве,
онлайн в Zoom
(Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru)
1. Numerical methods will be used to visualize principal foliations with new precision and detail.
2. The global geometry of the foliations will be studied by introducing cross-sections and generalized interval exchange transformations. Surfaces with dense lines of curvatures and ones that have principal foliations with invariant solenoids will be exhibited.
Ongoing work and open questions will be presented.
****************************************************************
Для понимания доклада необходимо знать определение главных кривизн
двумерной поверхности в трехмерном пространстве.
--
Пятница, 26 февраля 2021, начало в 18:30 по Москве,
онлайн в Zoom
(Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru)
Пятница, 19 февраля 2021, начало в 18:30 по Москве,
в ауд.310 Независимого Московского Университета на ОЧНОМ семинаре
В предыдущих двух докладах был сделан исторический обзор, представлен подготовительный материал из теории явления Стокса и намечено доказательство.
В настоящем докладе будет представлено доказательство первого шага, сведения к случаю малых частот, основанное на методе изомонодромных деформаций.
Если время позволит, будет кратко обсуждено доказательство для случая малых частот, методами теории быстро-медленных систем.
Весь подготовительный материал, необходимый для понимания, включая краткое введение в теорию изомонодромных деформаций,
будет представлен. Доклад будет доступен и тем, кто не был на двух предыдущих докладах.
Приглашаются все желающие!
Пятница, 12 февраля 2021, начало в 18:30 по Москве,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Пятница, 5 февраля 2021, начало в 18:30 по Москве,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Пятница, 11 декабря 2020, начало в 18:30 по Москве,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Abstract:
Можно взять случайную (в правильном смысле) симметрическую матрицу и
посмотреть на её собственные значения. А можно случайную эрмитову.
И можно даже случайную кватернионную. Получаются три разных постановки —
с ответом, зависящим от размерности "пространства чисел", равной
в этих трёх случаях \beta=1,2,4. Но на уровне формул вполне можно подставлять
и другие (даже нецелые!) \beta. А что будет, если подставить \beta=\infty?
О том, что мы в этой задаче делали, и какие чудеса видели, я и буду рассказывать.
Пятница, 4 декабря 2020, начало в 18:30,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Abstract:
Человеческое тело, рассматриваемое как динамическая система, устроено чрезвычайно сложно. Когда мы пытаемся моделировать человеческую походку, оказывается, что даже очень схематичные модели уже описываются неинтегрируемыми дифференциальными уравнениями.
Поэтому возникает идея отказаться от моделей и зайти со стороны статистических данных. Это означает, что мы имеем дело с динамической системой (реальным человеком), которую не понимаем, но которую можем наблюдать. И по этим наблюдениям должны предсказать последующее поведение системы -- чтобы своевременно помочь.
После этого начинается большая работа по приложению математических понятий к нашему случаю. Например, по-видимому, размерность аттрактора является критерием удобства походки; предсказание следующего шага зависит от параметров модельной марковской сети, а внезапные проблемы с наибольшим показателем Ляпунова могут свидетельствовать о готовящейся смене типа движения.
О наших попытках предсказать походку с учётом всего этого и пойдёт речь на докладе.
Абстрактные математические концепции и теоремы используются нами скорее как маяки и ориентиры, поскольку мы имеем дело с конечным набором данных (а не с известной гладкой системой), так что доклад будет носить в значительной степени неформальный характер.
Пятница, 27 ноября 2020, начало в 18:30,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Abstract:
Когда говорят о динамическом хаосе, обычно имеют в виду один из двух весьма разных типов динамики. В гамильтоновых системах наблюдается консервативный хаос, выглядящий в фазовом пространстве как «хаотическое море» с эллиптическими островами внутри него. Хаос в диссипативных системах имеет совсем другую природу, и он ассоциируется со странными аттракторами. Цель этого доклада – дать представление о еще одном, новом типе хаоса, так называемой смешанной динамике. Этот тип хаоса характеризуется прежде всего принципиальной неотделимостью друг от друга в фазовом пространстве аттракторов, репеллеров и консервативных элементов динамики (например, эллиптических точек, КАМ-кривых и т. п.). Тот факт, что в случае смешанной динамики аттракторы могут пересекаться с репеллерами, кажется, на первый взгляд, весьма странным и противоречащим здравому смыслу. В недавней работе с Д. Тураевым [1] мы сделали некоторую попытку разрешить это противоречие путем модификации понятия аттрактора, оставив за ним свойство «быть замкнутым инвариантным устойчивым множеством», но позволив ему пересекаться с репеллером по инвариантному множеству, так называемому обратимому ядру, которое ничего не притягивает и ничего не отталкивает. Сейчас хорошо известно, что смешанная динамика часто наблюдается в приложениях, и соответствующие примеры также будут рассмотрены в докладе.
[1] Гонченко С.В., Тураев Д.В. О трех типах динамики и понятии аттрактора // Труды МИАН, 2017. т. 297. С. 133-157.
Пятница, 13 ноября 2020, начало в 18:30,
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Доклад основан на книге Джеймса Глика «Хаос. Создание новой науки» — сейчас выходит её издание на русском языке в издательстве Corpus (https://www.corpus.ru/products/dzhejms-glik-haos-sozdanie-novoj-nauki.htm), и я к этому изданию волею случая оказался причастен.
Книга представляет собой взгляд «с той стороны океана», если кто-то захочет добавить каких-нибудь исторических сюжетов «с этой стороны», будет здорово.
Приходите! :)
Пятница, 6 ноября 2020, начало в 19:00, онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Abstract:
I will report on some joint work with Aurélien Alvarez, which shows that the Jouanolou foliation in degree two is structurally stable, and that it has a non trivial domain of discontinuity. This result is opposed to a series of results beginning in the sixties with the foundational works of Hudai-Verenov and Ilyashenko.
Пятница, 30 октября 2020, начало в 18:30, онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Аннотация:
Доклад будет проходить онлайн.
Рассмотрим произвольный гиперболический полицикл, возникающий в типичном конечно-параметрическом семейтстве. Вопрос: предельный цикл какой максимальной кратности может родиться при возмущении данного полицикла? В первой части доклада мы выяснили, что если в семействе рождается предельный цикл кратности m + 2, то существует нетривиальное решение некоторой полиномиальной системы из m уравнений. Тем, кто не слышал первую часть доклада, но собирается слушать вторую, крайне рекомендуется ознакомится с презентацией первой части, коя прикреплена к письму.
Вторая часть — сугубо алгебраическая. Мы будем исследовать полученную ранее полиномиальную систему и выясним, при каких услових она не имеет решения, что влечёт отсутствие предельного цикла большой кратности. Так как наш семинар, вообще говоря, не часто сталкивается с коммутативной алгеброй, то постараюсь подробнее расписать необходимые определения и элементы теории.
Пятница, 23 октября 2020, начало в 18:30,онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Аннотация:
Доклад будет проходить онлайн.
Рассмотрим произвольный полицикл, образованный гиперболическими сёдлами и возмутим его типичным конечно-параметрическим семейством. Вопрос: предельные циклы какой максимальной кратности могут родиться при разрушении данного полицикла? Оказывается, что ответ на данный вопрос можно дать в терминах характеристических чисел сёдел, образующих полицикл. Занимательно, что такая задача, сформулированная в терминах динамических систем, приводит к интересной теории, уходящей далеко в коммутативную алгебру.
Планируется, что доклад займёт два дня. Первая его часть пройдёт в ближайшую пятницу. Вторая же предварительно намечается на пятницу 30 октября. Первая часть доклада будет оперировать лишь терминами простейшего матанализа и динамических систем, поэтому никаких предварительных знаний не потребуется. Но вторая часть будет алгебраической. Для её понимания крайне рекомендуется прослушать первую часть!
P.S. Обращаем внимание, что первая часть состоится именно 23 октября несмотря на то, что ранее в сентябре ЮС говорил, что в данный день семинара не планируется. Ситуация изменилась.
онлайн в Zoom,
Номер конференции и пароль можно узнать по адресу: i.s.shilin@yandex.ru
Аннотация:
В докладе будет дан обзор задач, связанных с (еще не существующим) доказательством структурной устойчивости типичных двупараметрических глокальных (объясню) семейств векторных полей на сфере. Будут предложены и другие проблемы. Я также расскажу доказательство леммы о седлоузловых семействах, которое смазал на предыдущем докладе и которое может быть полезно в дальнейшем.
Третьекурсников, планирующих работать под моим руководством, приглашаю обсудить со мной задачи для курсовых после семинара.
В пятницу 16 октября в 17:30 состоится заключительная часть ликбеза по бифуркациям.
Пятница, 2 октября 2020, начало в 19:00,
Аннотация:
Эффект Джозефсона в сверхпроводимости состоит в том, что если два
сверхпроводника, к которым подключено напряжение,
разделены достаточно тонким слоем диэлектрика, то сквозь диэлектрик
потечет сверхпроводящий ток, описываемый уравнением, открытым
Джозефсоном. Доклад посвящен его модели, в которой вышеупомянутое
уравнение имеет тригонометрическую правую часть и эквивалентно семейству
динамических систем на двумерном торе. Семейство зависит от двух
параметров (В,А), плюс третий параметр: фиксированная частота "внешней
накачки". Интересно изучать число вращения как функцию от (В,А) и зоны
захвата: те ее множества уровня, которые имеют непустую внутренность
(аналоги знаменитых языков Арнольда). Известно, что зоны захвата
существуют только для целых значений числа вращения.
Каждая зона захвата является бесконечной гирляндой из областей, уходящих на бесконечность в вертикальном направлении. Две соседние компоненты зоны захвата разделены одной точкой, называемой перемычкой (за исключением точки раздела на оси абсцисс В, называемой точкой роста).
Экспериментальный факт, обнаруженный В.М.Бухштабером, С.И.Тертычным, В.А.Клепцыным, Д.А.Филимоновым, И.В.Щуровым состоит в том, что в каждой зоне захвата с числов вращения Р все перемычки лежат на одной вертикальной прямой с абсциссой В=Р\omega. Это было частично доказано в совместной работе В.А.Клепцына, Д.А.Филимонова, И.В.Щурова и докладчика.
В докладе будет представлено доказательство этого экспериментального факта в полной общности, а также того, что росток зоны захвата в перемычке содержит росток вертикальной прямой. Доказательство состоит из двух частей:
1) Сведение к случаю сколь угодно малых частот, основанное на связи с линейными уравнениями на сфере Римана, изомонодромными деформациями и их описании (для данного случая) с помощью решений уравнений Пенлеве 3.
2) Доказательство основных результатов для сколь угодно малых частот с помощью методов теории быстро-медленных систем.
Мы подробно обсудим шаг 1), являющийся основным.
Пятница, 25 сентября 2020, начало в 18:30, ауд. 401
Аннотация:
Прямые произведения выглядят как конструкция, от которой не стоит ожидать подвоха. Может показаться, что аттрактор прямого произведения всегда должен быть равен прямому произведению аттракторов. Однако для милноровских, статистических и минимальных аттракторов это не так.
Мы продемонстрируем соответствующие примеры гладких векторных полей, а также обсудим, как добиться аналогичного эффекта для SRB-мер.
Пятница, 18 сентября 2020, начало в 18:30, ауд. 401
Аннотация:
Мы дадим определения максимальных аттракторов, аттракторов Милнора, статистических и минимальных атттракторов, обсудим их свойства, а также разберем примеры, показывающие, что эти аттракторы могут не совпадать. Пример несовпадения статистического и минимального аттракторов, построенный В. Клепцыным, непосредственно связан с сюжетом об аттракторах прямых произведений, который будет рассказан через неделю.
Пятница, 11 сентября 2020, начало в 18:30, ауд. 401
Аннотация:
Бифуркационные диаграммы типичных однопараметрических локальных семейств векторных полей на плоскости бывают только двух типов: точка и монотонная последовательность. Оказывается, что в типичных двупараметрических локальных семействах множество различных бифуркационных диаграмм очень богато, и в частности счетно. Это будет объяснено на примере возмущения векторного поля с одной седлоузловой особой точкой и одним полуустойчивым циклом. Будет доказана структурная устойчивость таких возмущений. При этом возникают общие методы, которые (можно надеяться) позволяют доказывать структурную устойчивость семейств, когда она есть. Большая часть доклада будет доступна для начинающих. В конце будут сформулированы проблемы разной степени трудности.
Пятница, 4 сентября 2020, начало в 18:30, ауд. 401
Аннотация:
В докладе будет рассказано о совместной работе с Юлией Бибило.
Эффект туннелирования в сверхпроводимости, открытый Б.Джозефсоном в 1960-е гг. (Нобелевская премия по физике за 1973 г) относится к системе двух сверхпроводников, разделенных тонким слоем диэлектрика (называемой Джозефсоновским переходом). Он состоит в том, что если слой диэлектрика достаточно тонок и к сверхпроводникам подключено напряжение, то сквозь диэлектрик потечет сверхпроводящий ток, описываемый уравнением, открытым Джозефсоном. Эффект Джозефсона описывается семейством нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. Мы обсудим его упрощенную версию (для так называемого сильно шунтированного перехода Джозефсона) - замечательное семейство уравнений первого порядка, встречающееся в разных областях математики, механики и физики. Оно имеет тригонометрическую правую часть и эквивалентно семейству динамических систем на двумерном торе. Семейство зависит от двух параметров (В,А), плюс третий параметр: фиксированная частота "внешней накачки". Интересно изучать число вращения как функцию от (В,А) и зоны захвата: те ее множества уровня, которые имеют непустую внутренность (аналоги знаменитых языков Арнольда). Известно, что зоны захвата существуют только для целых значений числа вращения. Каждая зона захвата является бесконечной гирляндой из областей, уходящих на бесконечность в вертикальном направлении. Две соседние компоненты зоны захвата разделены одной точкой, называемой перемычкой (за исключением точки раздела на оси абсцисс В, называемой точкой роста). Экспериментальный факт, обнаруженный В.М.Бухштабером, С.И.Тертычным, В.А.Клепцыным, Д.А.Филимоновым, И.В.Щуровым состоит в том, что в каждой зоне захвата с числов вращения Р все перемычки лежат на одной вертикальной прямой с абсциссой В=Р\omega. Это было частично доказано в совместной работе В.А.Клепцына, Д.А.Филимонова, И.В.Щурова и докладчика. В докладе будет представлено доказательство этого экспериментального факта в полной общности, а также того, что росток зоны захвата в перемычке содержит росток вертикальной прямой. Доказательство основано на связи с линейными уравнениями на сфере Римана, изомонодромными деформациями, уравнением Пенлеве 3 и быстро-медленными системами.
Приглашаются все желающие!