На главную страницу НМУ

Николай Владимирович Богачёв

(Сколтех & МФТИ)

Геометрия, арифметика и динамика дискретных групп

Курс читается дистанционно по вторникам в 17:30.
Идентификатор zoom-конференции: 986 2594 4049
Пароль — порядок группы S_6.

Конспекты и видеозаписи лекций, а также все новости по курсу можно найти на личной странице лектора.
Видеозаписи лекций также собраны в плейлисте на YouTube-канале НМУ.

Примерная программа:

  1. Предварительные сведения. Топология. Алгебраическая топология. Гомотопии, накрытия, фундаментальные группы. Примеры.

  2. Предварительные сведения. Гладкие многообразия над R и C. Алгебраические многообразия над произвольным полем k. Примеры.

  3. Предварительные сведения. Группы Ли над R и C. Простые и полупростые группы. Системы корней. Схемы Дынкина.

  4. Предварительные сведения. Алгебраические k-группы, где k — поле алгебраических чисел.

  5. Симметрические однородные пространства. Пространства постоянной секционной кривизны: пространство Евклида E^n, n-мерная сфера S^n, (гиперболическое) пространство Лобачевского H^n.

  6. Мера Хаара на группе. Дискретные подгруппы групп Ли. Решетки в группах Ли. Простейшие свойства решеток. Примеры. Формулировка теоремы о сильной жесткости (Мостов, Прасад, Маргулис, Рагунатан) решеток в полупростых группах Ли.

  7. Дискретные группы преобразований. Фундаментальная область дискретной группы преобразований. Обобщенные выпуклые фундаментальные многогранники (область Дирихле). Метод Пуанкаре.

  8. Гиперболические многообразия и орбифолды. Динамическое доказательство теоремы жесткости Мостова для кокомпактных подгрупп в группе Ли Isom(H^n) = PO(n,1).

  9. Арифметические и квазиарифметические дискретные группы. Гипотеза Сельберга и Пятецкого-Шапиро ( ~ 1960 год). Формулировки классических результатов: теорема Бореля — Хариш-Чандры, супержесткость Маргулиса, знаменитая теорема Маргулиса (~ 1974 год) об арифметичности решеток в полупростых группах Ли вещественного ранга > 1. Примеры.

  10. Теория Винберга (~ 1967 год) гиперболических групп отражений (обзор). Многогранники и схемы Кокстера. Арифметические группы отражений и критерий арифметичности Винберга. Отсутствие многогранников Кокстера в высоких размерностях. Конечность числа арифметических групп отражений. Обзор основных результатов по состоянию на 2020 год. Открытые проблемы.

  11. (**) Неарифметические гиперболические многообразия Громова — Пятецкого-Шапиро (~ 1986 год). Квазиарифметические многообразия Агола — Белолипецкого — Томсона (~ 2010). Неарифметические группы отражений типа Громова — Пятецкого-Шапиро (Винберг, 2014). Примеры.

  12. (**) Арифметика гиперболических многообразий и орбифолдов. Вполне геодезические подпространства гиперболических орбифолдов. Обзор основных результатов по состоянию на 2020 год. Открытые проблемы.