Семинар посвящён разбору статей, которые нам интересны. Основное направление семинара -- топологическая комбинаторика, но также темы докладов могут захватывать более отдалённые сюжеты, относящиеся к комбинаторике, теории игр, сложности вычислений, дискретной геометрии, теории гомотопий, квантовым алгоритмам и другим смежным направлениям. Также планируются общеобразовательные доклады на сопутствующие темы.
Руководители семинара: Михаил Блудов и Андрей Рябичев. Чат участников семинара в телеграме. Видеозаписи выкладываются тут.
Семинар проходит в МФТИ, время плавающее -- либо по пятницам с 15:30 до 17:05 (ауд.430ГК), либо по субботам с 13:55 до 15:30 (ауд.322АдмК).
Для тех, у кого нет пропуска МФТИ, проход осуществляется по паспорту (можете предупредить кого-нибудь из руководителей семинара, чтобы вас встретили).
Рассмотрим ориентируемое S^1-расслоение над замкнутой ориентируемой поверхностью. Квазисечение — отображение любой поверхности в тотальное пространство расслоения, такое что его проекция на базу сюръективна.
На квазисечения можно смотреть как на сечения, которым разрешается быть многозначными. Если выбрано квазисечение общего положения, то его особенности (такие как самопересечения, сборки, зонтики Уитни итп) задают набор комбинаторных данных. Мы обсудим, как по этим данным восстановить класс Эйлера исходного расслоения.
Для понимания доклада полезно знать что такое S^1-расслоение и его класс Эйлера, вся теория относящаяся к квазисечениям будет напомнена. Доклад следует статье Г.Ю.Паниной arXiv:2410.22453.
Алексей Фахрутдинов, Orthogonal partitions into four parts
Сергей Фомин, On essential simplicial maps S^3 -> S^2
Ксения Аполонская, Minimal simplicial spherical mappings with a given degree
Андрей Рябичев, Об отображениях степени d из триангулированной сферы с как можно меньшим количеством вершин в границу n+1-симплекса
Тимур Шамазов, Computing the Hopf invariant
Николай Зуев, Combinatorics of Minimal Balanced Collections
Михаил Блудов, On the Homotopy Type of Balanced subsets
Илья Широков, Borsuk-ulam type theorems and mountain climbing problem
В рамках работы рассматривается класическая задача о разрезании торта — как поделить торт между множеством агентов, чтобы все оказались довольны своим куском. Многие результаты о дележах без зависти обычно опираются на лемму Шпернера или теорему ККМ. В работе Паниной и Живалевича arXiv:2102.06886 предлагается качественно иной подход, основанный на конфигурационных пространствах и эквивариантной топологии. Такой взгляд позволяет учитывать предпочтения, допускающие выбор вырожденных кусков, с чем у классического подхода возникают трудности, в работе доказаны новые варианты теорем о дележах, их мы и постараемся рассмотреть на семинаре...
У Ext-алгебр колец Стэнли-Райснера пока нет приложений в комбинаторике — хотя, следуя классической идее "размерность любого векторного пространства неотрицательна", Устиновский в arXiv:1610.03888 получил бесконечную систему полиномиальных неравенств на f-числа флаговых симплициальных комплексов. Интересная задача по экспериментальной математике — как-то интерпретировать "огибающую" этой системы.
Я расскажу, что это за неравенства и как их можно слегка усилить. В оставшееся время мы обсудим открытые вопросы об f-числах флаговых комплексов (см. arXiv:1809.06835) и как их можно пытаться связать с торической топологией
Предположим, над замкнутой ориентируемой поверхностью задано ориентируемое расслоение со слоем окружность. Ясно, что если класс Эйлера расслоения не равен нулю, то непрерывного сечения оно не имеет. Можно, однако, рассматривать квазисечения — неформально говоря, многозначное отображение из базы в тотальное пространство, образом которого является замкнутая подповерхность с особенностями общего положения.
Оказывается, по особенностям квазисечения (самопересечениям, зонтикам Уитни, а также складкам и сборкам при проекции на базу) можно вычислить класс Эйлера расслоения. Мы обсудим, как это сделать, начав с определений. Доклад следует статье Г.Ю.Паниной arXiv:2410.22453, изложение планируется вполне элементарным.
Детский рисунок — такой двудольный граф D, вложенный в сферу с g ручками X, что пространство X\D гомеоморфно дизъюнктному объединению дисков. Несмотря на простоту таких объектов, теория детских рисунков связана с различными областями математики: комбинаторной топологией, алгебраической геометрией, алгебраической комбинаторикой, арифметикой, дифференциальными уравнениями... Объект стал популярен благодаря Александру Гротендику и его "маргинальному" "эскизу программы". А именно, Гротендика привлекла связь детских рисунков и теории Галуа: по сути он указал на гипотетический подход к решению важной гипотезы из арифметики — обратной задачи теории Галуа.
Необходимые сведения из арифметики и алгебраической геометрии будут сообщены.
Многие знают, что такое симплициальная категория Δ. Это категория, объектами которой являются конечные множества [n]={0,1,...,n}, а морфизмы — неубывающие отображения. Контрвариантные функторы Δ^op → Sets называются симплициальными множествами. Скрещенная симплициальная группа — это способ «модифицировать» категорию Δ, добавив для каждого объекта автоморфизмы специальным образом. В итоге получается категория ΔG, такая, что контрвариантные функторы ΔG^op → Sets — это симплициальные множества, несущие на себе действие некоторой топологической группы. Впервые данная конструкция была введена Федеровичем, Лодеем и Красаускасом для обобщения циклических гомологий. В контексте поиска комбинаторных формул для характеристических классов скрещенные симплициальные группы рассмотрел Николай Мнёв. Благодаря скрещенным симплициальным группам он получил симплициальную структуру для классифицирующего пространства группы U(1), имеющую конечное количество симплексов в каждой размерности, и для любого симплициального расслоения со слоем S^1 он получил явное комбинаторное описание отображения в классифицирующее пространство. Его конструкция также работает для симплициальной структуры классифицирующего пространства группы O(2). После подсчёта когомологий соответствующих классифицирующих пространств, получаются комбинаторные формулы для первого класса Чженя комбинаторных U(1)-расслоений и первого и второго классов Штифеля-Уитни комбинаторных O(2)-расслоений со слоем окружность.
Ссылки:
R. Krasauskas. Skew-simplicial groups. Lith.Math.J., 27(1):47-54, 1987.
Zbigniew Fiedorowicz and Jean-Louis Loday. Crossed simplicial groups and their associated homology. Trans.Am.Math.Soc., 326(1):57{87, 1991.
Mnёv, Nikolai. K(Z,2) out of circular permutations. — 2024. arXiv:2406.01625.
Mnёv, Nikolai. Minimal triangulations of circle bundles, circular permutations and binary Chern cocycle. — 2019. arXiv:1908.04029.
и дополнительная библиографическая справка про симплициальные множества от Васи Ионина:
Рекомендую посмотреть G. Friedman, An elementary illustrated introduction to simplicial sets (arXiv:0809.4221) там очень понятно и доступно все определения и базовые факты. Потом E. Riehl, A leisurely introduction to simplicial sets, там тоже элементарщина, но абстрактно записанная, и если замастерить это, то можно будет эффективно писать текст на этом языке + читать современную литературу.
Объект, который мы будем изучать — расслоение со слоем окружность, базой которого является замкнутая ориентируемая поверхность (сфера с ручками), а на слоях можно согласованно выбрать направления. Такое расслоение однозначно определяется целым числом — своим классом Эйлера. Если класс Эйлера не равен нулю, то расслоение не имеет (непрерывного) сечения. Однако, можно рассматривать квазисечения — неформально говоря, разрешив сечению быть многозначным. Оказывается, глядя на особенности квазисечения, можно вычислить класс Эйлера данного S^1-расслоения (теорема 1). С помощью этой техники, например, можно дать комбинаторное доказательство неравенства Милнора-Вуда.
Первая лекция будет обзорной. Мы обсудим понятие расслоения, как строить обратный образ и разные взгляды на класс Эйлера, немного окунувшись в алгебраическую топологию и теорию препятствий. Далее мы, насколько позволит время, обсудим определение квазисечения и начнём доказывать теорему 1. Я постараюсь сделать изложение максимально наглядным и не требующим предварительных знаний. Будут понятные примеры и страшные картинки.
Серия докладов направлена в сторону результатов arXiv:2410.22453 и arXiv:2412.14553, но пока я планирую охватить картину этой области более широко, не ограничиваясь одной лишь траекторией доказательства.
Пусть у нас есть конечный набор точек в евклидовом пространстве. Подмножество этого набора будем называть сбалансированным, если его выпуклая оболочка содержит 0. Сбалансированные и несбалансированные наборы имеют множество эквивалентных формулировок и встречаются в разных областях математики. Относительно недавно появился интерес к топологическим свойствам этих наборов. Например, ясно, что семейство несбалансированных наборов образует симплициальный комплекс. Теперь, пусть нам дан набор точек в d-мерном пространстве, такой что его выпуклая оболочка является d-мерным многогранником, и при этом 0 лежит внутри этого многогранника. Тогда комплекс несбалансированных наборов является сферой размерности (d-1). Эта теорема была обнаружен докладчиком в контексте изучения теорем о покрытиях типа KKM.
Независимо эта теорема была получена Павле Благоевичем в работе ''A Colorful Version of Carathéodory's Theorem plus a constraint'' (arXiv:2509.01000) в контексте изучения цветной теоремы Каратеодори и её обобщений. Саму же цветную теорему Каратеодори можно понимать как некоторое утверждение о сбалансированных наборах.
Во время доклада планируется обсудить доказательство упомянутой теоремы о комплексе несбалансированных наборов. Также планируется обсудить работу П.Благоевича, какие-то ещё топологические свойства сбалансированных наборов, возможные дальнейшие обобщения и направленичя исследований.
На прошлом семинаре мы определили целочисленные характеристики (инварианты) почти вложений: оборотные, циклические и триодические числа; мы привели примеры соотношений между этими числами для конкретных графов. Нестрого говоря, эти соотношения бывают двух видов:
1) те, что приходят из структуры графа;
2) те, что приходят из геометрии почти вложений.
Для доказательств соотношений первого вида "не нужно" помнить ни о суммах углов, через которые определены инварианты; ни о самом почти вложении.
Мы формализуем данное замечание: определим группу на множестве циклов в произвольном графе и конфигурационное пространство (граф), циклы в котором соответствуют упомянутым выше инвариантам.
После рассказа продолжим семинар в свободной форме.
Материалы этого и предыдущего докладов изложены в статьях arXiv:2410.09860 и arXiv:2406.16705.
Изображение графа на плоскости называется почти вложением, если образы любых двух несмежных симплексов (т.е. вершин или ребер) не пересекаются.
Мы определим целочисленные характеристики почти вложений: оборотные, триодические и циклические числа. Мы опишем все соотношения между этими числами для почти вложения f графа K_4 и сформулируем некоторые результаты для почти вложений других графов.
Например, для каждой из четырех вершин v графа K_4 рассмотрим число оборотов f-образа цикла, полученного удалением v из K_4, вокруг f(v). Тогда сумма этих четырех чисел нечетна. Причем других соотношений на эти числа оборотов для почти вложений графа К_4 нет.
Некоторые из соотношений -- суть гомологичность некоторых циклов в некотором конфигурационном пространстве, связанного с графом.
Лекция будет доступна первокурснику. Все понятия будут определены. Имеются интересные примеры и направления для дальнейшего исследования.
Многочлены Ласку обобщают сразу несколько важных семейств многочленов, возникающих в алгебраической комбинаторике: это многочлены Шура, возникающие как характеры представлений GL(n) или представители классов Шуберта в кольце когомологий грассманиана; ключевые многочлены (key polynomials), определяемые как характеры модулей Демазюра в представлениях GL(n), и, наконец, стабильные многочлены Гротендика, они же — представители структурных пучков многообразий Шуберта в К-группе грассманиана.
Я расскажу о новой комбинаторной интерпретации многочленов Ласку в терминах многогранников Гельфанда-Цетлина, полученной совместно с Е.Д.Пресновой (2024). А именно, они получаются из некоторого явно построенного клеточного разбиения многогранника Гельфанда-Цетлина как суммы мономов, отвечающих клеткам разбиения, которые лежат в некотором наборе граней многогранника. Этот результат обобщает классическую формулу Вейля для характера, а также результат В.А.Кириченко, докладчика и В.А.Тиморина (2012) о связи ключевых многочленов с целыми точками в наборах граней многогранника Гельфанда-Цетлина.
Одним из следствий теоремы Борсука-Улама является так называемая теорема о бутерброде: произвольные n множеств в R^n можно одновременно разделить одним разрезом-гиперплоскостью пополам. На семинаре мы обсудим статью Lo, Matoušek, Steiger, Algorithms for Ham-Sandwich Cuts, подробно разобрав оптимальный алгоритм нахождения такого разреза на плоскости (n=2) за линейное время. Так же будет приведен общий план построения алгоритма в случае n>2 и приложение развитой в статье техники к задаче о разделении множества на плоскости ортогональным разрезом на четыре равные части, которая может быть решена за линейное время.
Набор подмножеств множества чисел от 1 до n называется сбалансированным, если выпуклая оболочка соответствующих вершин булева куба имеет непустое пересечение с главной диагональю куба из 0 в [n]. Если же пересечение пустое, то такой набор называется несбалансированным. Этот комбинаторный объект возникает в самых разных областях математики, от кооперативных игр до квантовой теории поля, а задачи и вопросы, связанные со сбалансированными множествами, возникают самые разные занятные. Так, в 1986 году Manickam, Miklós и Singhi предположили, что при k достаточно меньших чем n, в любом максимальном несбалансированном наборе содержится хотя бы {n-1}\choose{k-1} k-элементных множеств.
В статье A.Björner, Positive Sum Systems. изучаются топологические свойства максимальных несбалансированных наборов. Помимо прочего, доказывается, что любой ЧУМ максимального несбалансированного набора является шеллинговым шаром с одной центральной точкой. На семинаре мы планируем обсудить этот и прочие результаты статьи, обсудим, как их можно обобщать, а также смежные результаты, наблюдения, задачи.
Список пополняется. Приглашаем участников предлагать свои варианты -- как что вы хотите разобрать, так и о чём было бы интересно послушать.