На главную страницу НМУ

Андрей Рябичев

Геометрическое введение в теорию узлов (НМУ, осень 2026)

Лекции читаются очно по четвергм первой парой (17:30-19:10) в аудитории 401 и транслируются на YouTube.

К каждой лекции выкладываются листки с задачами, их можно сдавать в течение 3 недель после лекции (через 3 недели происходит частичный разбор). Каждая сданная задача (пункт) учитывается как +1% оценки за экзамен (но не более 49% суммарно). В конце семестра будет проведён письменный экзамен. Вот кондуит.

Вот чат слушателей курса. Ещё можно писать мне в телеграм или на почту ryabichev@179.ru

Проекты

Желающим предлагается разобрать дополнительные темы к курсу и сделать небольшой доклад (за бонус к итоговой оценке).

1. Stick number торического узла T(p,q).

2. Минимальное число звеньев в представлении торического узла T(p,q) в виде рёбер выпуклого четырёхмерного многогранника.

Лекции и задачи

8 октября, лекция 5. Аддитивность рода. Род торических узлов. Единственность разложения узла в сумму простых.

1 октября, лекция 4 (видео). Торические узлы. Поверхность Зейферта, теорема о существовании. Род нетривиального узла положителен. Задачи к лекции 4 (до 22 октября).

24 сентября, лекция 3 (видео). Раскраски диаграммы в n цветов. Сумма узлов. Нетривиальность суммы (через мошенничество Мазура-Эйленберга). Задачи к лекции 3 (до 15 октября).

17 сентября, лекция 2 (видео). Узлы в сфере, изотопии с компактным носителем. Зацепления. Группа узла/зацепления. Примеры неизотопных зацеплений с гомеоморфными дополнениями. Задачи к лекции 2 (до 8 октября).

10 сентября, лекция 1 (видео). Ручные и дикие узлы. Изотопии и объемлющие изотопии. Диаграмма узла. Теорема Рейдемейстера. Инварианты узлов: трёхцветные раскраски дуг диаграммы. Задачи к лекции 1 (до 1 октября).

Описание курса:

Этот курс является простым введением в теорию узлов. Мы сосредоточимся на геометрических аспектах, связанных с узлами, и на развитии соответствующей техники.

Курс не требует больших предварительных знаний, для понимания достаточно владеть основами топологии (определение фундаментальной группы и группы первых гомологий будут при необходимости подробно разобраны).

В конце курса, если останется время, мы обсудим как узлы позволяют описывать замкнутые ориентируемые трёхмерные многообразия, а также основы теории инвариантов конечного типа для узлов.

Примерный план:

1. Ручные и дикие узлы. Изотопии и объемлющие изотопии. Диаграмма узла. Теорема Рейдемейстера

2. Группы кос, теоремы Александера и Маркова о замыкании. Инварианты узлов: трёхцветные и n-цветные раскраски диаграммы

3. Скобка Кауфмана, полином Джонса

4. Сумма узлов. Нетривиальность суммы (через мошенничество Мазура-Эйленберга)

5. Поверхности Зейферта, род узла. Аддитивность рода. Трубчатая эквивалентность поверхностей Зейферта

6. Единственность разложения узла в сумму простых. Теорема Ликориша о склейке простых 2-тэнглов

7. Фундаментальная группа дополнения узла/зацепления, копредставление Виртингера

8. Коэффициент зацепления. Брунновы зацепления

9. Несжимаемые торы. Сателлитные узлы, каблирование, удвоения Бинга и Уайтхеда

10. Распознавание зацепленности с помощью поверхности Зейферта рода 1 (томский сертификат)

11. Теорема о петле, лемма Дена. Если группа зацепления свободна, то зацепление тривиально

12. Циклы на поверхностях. Матрица Зейферта

13. Детерминант и сигнатура узла. Полином Александера

14. Трёхмерные многообразия: разбиения Хегора. Теорема Дена-Ликориша. Перестройки по за- цеплениям. Линзовые пространства

15. Инварианты Васильева (конечного типа). Хордовые диаграммы, весовые системы

Литература