На главную страницу НМУ

Андрей Рябичев

Введение в группы кос (НМУ, весна 2026)

Лекции читаются очно по четвергам первой парой (17:30-19:10) в аудитории 303 и транслируются на YouTube.

К каждой лекции выкладываются листки с задачами. Каждая сданная задача (пункт) учитывается как +1% оценки за экзамен (но не более 49% суммарно). В конце семестра будет проведён письменный экзамен. Вот кондуит.

Вот чат слушателей курса. Ещё можно писать мне в телеграм или на почту ryabichev@179.ru

Лекции и задачи

26 февраля, лекция 3. Доказательство теоремы Александера о замыкании. Центр группы кос. Проблема равенства, причёсанная нормальная форма

19 февраля, лекция 2 (видео). Узлы, теорема Рейдемейстера. Кусочно-линейное представление косы. Теорема Рейдемейстера для кос. Доказательство копредставления Артина. Обсуждение стратегии доказательства теоремы Александера о замыкании. Задачи к лекции 2.

5 февраля, лекция 1 (видео). Геометрические косы, изотопии, групповая структура. Образующие и соотношения Артина (без доказательства). Конфигурационное пространство, доказательство того что pi_1(C_n(R^2)) изоморфно B_n. Узлы, замыкание косы, теоремы Александера и Маркова (без доказательства). Задачи к лекции 1.

Описание курса:

Группа кос на n нитях имеет простое топологическое описание (как наборы монотонных нитей в пространстве с точностью до изотопии), и в то же время легко определяются чисто алгебраически (как n − 1 образующая, на которые наложены соотношения Артина) — красивый пример взаимного проникновения двух областей математики, приводящий к их взаимному обогащению.

Курс начинается с элементарного введения, доказательства эквивалентности двух определений, решения проблемы равенства для кос и обсуждением связи с теорией узлов. Также подробно обсуждается связь с другой плодотворной областью маломерной топологии — группами классов отображений.

В заключительной части курса мы поговорим про псевдохарактеры на группах и конкретно про закрученность кос — и про то, как она позволяет связать топологические и комбинаторные свойства узла со свойствами косы, замыканием которой узел является. Обсуждения сложных результатов в этой части курса будет носить обзорный характер и основано на статье “Универсальность псевдохарактеров в теории узлов” (совместно с Ильёй Алексеевым, готовится к публикации).

Примерный план:

1. Геометрические косы, изотопии, групповая структура. Образующие и соотношения Артина

2. Крашеные косы. Центр. Приводимость и расщепимость, каблирование

3. Проблема равенства, причёсанная нормальная форма. Жадная нормальная форма

4. Конфигурационные пространства, группы кос на поверхностях. Действие на свободной группе. Точная последовательность Бирман

5. Группы классов отображений, теорема Дена-Ликориша

6. Железнодорожные пути. Классификация Нильсена-Тёрстона

7. Теорема Александера (любой узел/зацепление является замыканием косы). Алгоритм Вожеля. Утверждение теоремы Тёрстона (узлы делятся на торические, сателлитные и гиперболические)

8. Теорема Маркова (косы, представляющие изотопные зацепления, связаны сопряжением и стабилизацией/дестабилизацией)

9. Упорядочиваемые группы. Порядок Деорнуа, алгебраическое определение и геометрический смысл

10. Псевдохарактеры на группах. Гомеоморфизмы окружности: число вращения Пуанкаре и число переноса

11. Плоскость Лобачевского (напоминание), универсальное накрытие диска с проколами. Представление группы кос гомеоморфизмами окружности (действие Нильсена-Тёрстона)

12. Закрученность (коэффициент дробного скручивания Дена), ядерность (обнуление на расщепимых косах). Эквивалентность различных определений (через антье Деорнуа, через действие на окружности, аксиоматическое определение).

13. Считывание свойств зацепления с косы при условии большой закрученности (обзор): оценки на род, срезанный род, число перекрёстков, неразводимость, трихотомия Тёрстона

Литература