Лекции читаются очно по четвергам первой парой (17:30-19:10) в аудитории 303 и транслируются
на YouTube.
К каждой лекции выкладываются листки с задачами. Каждая сданная задача (пункт) учитывается как +1% оценки за экзамен (но не более 49% суммарно). В конце семестра будет проведён письменный экзамен. Вот кондуит.
Вот чат слушателей курса. Ещё можно писать мне в телеграм или на почту ryabichev@179.ru
19 марта, лекция 6. Точная последовательность Бирман. Теорема Дена-Ликориша для произвольных групп классов отображений. Простые замкнутые кривые и числа пересечений, действие на комплексе кривых.
12 марта, лекция 5 (видео). Образующие группы крашенных кос. Абеленизация. Центр. Задачи к лекции 5.
5 марта, лекция 4 (видео). Группа крашенных кос как полупрямое произведение свободных групп. Группы классов отображений. Образы дуг задают гомеоморфизм диска. Задачи к лекции 4.
26 февраля, лекция 3 (видео). Доказательство теоремы Александера о замыкании. Проблема равенства, причёсанная нормальная форма. Задачи к лекции 3.
19 февраля, лекция 2 (видео). Узлы, теорема Рейдемейстера. Кусочно-линейное представление косы. Теорема Рейдемейстера для кос. Доказательство копредставления Артина. Обсуждение стратегии доказательства теоремы Александера о замыкании. Задачи к лекции 2.
5 февраля, лекция 1 (видео). Геометрические косы, изотопии, групповая структура. Образующие и соотношения Артина (без доказательства). Конфигурационное пространство, доказательство того что pi_1(C_n(R^2)) изоморфно B_n. Узлы, замыкание косы, теоремы Александера и Маркова (без доказательства). Задачи к лекции 1.
Группа кос на n нитях имеет простое топологическое описание (как наборы монотонных нитей в пространстве с точностью до изотопии), и в то же время легко определяются чисто алгебраически (как n − 1 образующая, на которые наложены соотношения Артина) — красивый пример взаимного проникновения двух областей математики, приводящий к их взаимному обогащению.
Курс начинается с элементарного введения, доказательства эквивалентности двух определений, решения проблемы равенства для кос и обсуждением связи с теорией узлов. Также подробно обсуждается связь с другой плодотворной областью маломерной топологии — группами классов отображений.
В заключительной части курса мы поговорим про псевдохарактеры на группах и конкретно про закрученность кос — и про то, как она позволяет связать топологические и комбинаторные свойства узла со свойствами косы, замыканием которой узел является. Обсуждения сложных результатов в этой части курса будет носить обзорный характер и основано на статье “Универсальность псевдохарактеров в теории узлов” (совместно с Ильёй Алексеевым, готовится к публикации).