Г.Л.Рыбников

Алгебра, 4 семестр (программа зачета) (весна 1997)

Тензорная алгебра

Тензорное произведение. Его универсальность.
Расширение кольца констант. Комплексификация как тензорное умножение.
Канонические изоморфизмы. Пространство линейных отображений как тензорное произведение.
Координатная запись тензоров. Преобразование координат тензора при замене базиса. Тензоры типа $(p,q)$.
Тензорная, симметрическая и внешняя алгебры.
Симметрические и кососимметрические тензоры.
Свёртка. Внутреннее умножение.
Категории и функторы. Изоморфизм функторов. Функториальность тензорного произведения.
Алгебры симметрических и кососимметрических тензоров. Алгебра разделенных степеней.

Элементы теории групп

Простые группы. Теорема Жордана--Гёльдера.
Коммутант группы. Разрешимые групы. Нильпотентные группы.
Силовские подгруппы. Теоремы Силова.
Полупрямое произведение групп.

Линейные представления групп

Линейные представления и их морфизмы. Неприводимые и вполне приводимые представления.
Алгебра эндоморфизмов неприводимого представления. Лемма Шура.
Алгебра эндоморфизмов изотипического представления и описание всех его инвариантных подпространств.
Теорема о двойном централизаторе.
Теорема Бернсайда.
Теорема Машке. Существование инвариантного эрмитового скалярного произведения в пространстве комплексного представления конечной группы.
Полупростые алгебры. Строение конечномерных полупростых алгебр над алгебраически замкнутым полем.
Модули над полупростой алгеброй.
Центр полупростой алгебры. Инвариантная билинейная форма на полупростой алгебре. Полупростота групповой алгебры.
Характеры представлений и центр групповой алгебры.
Соотношения ортогональности характеров.
Матричные элементы представлений. Соотношения ортогональности для матричных элементов. Разложение регулярного представления.
Двойственное представление, прямая сумма и тензорное произведение представлений. Их характеры.
Квазирегулярные представления. Их характеры и числа сплетения.
Индуцированное представление. Двойственность Фробениуса.
Представления симметрической группы.
Двойственность Шура---Вейля.
Полиномиальные представления полной линейной группы.

Литература

Э.Б.Винберг. Лекции по алгебре. Второй курс. НМУ, 1995.
Э.Б.Винберг. Линейные представления групп. "Наука", 1985.
А.А.Кириллов. Элементы теории представлений. "Наука", 1978.
Г.Вейль. Классические группы, их инварианты и представления. ИЛ, 1947.