А.Б.Сосинский

Топологиия (1к. 2й сем. 1997г.)

Вывод теоремы о неподвижной точке из основных фактов теории когомологий.
Определение (без док-ва существования) и вычисление полинома Конвея узла.
Топология в $\Bbb R^N:$ открытость, замкнутость, (линейная) связность, компактность, замыкание, внутренность, непрерывность, гомеоморфизм.
Аксиомы топологического и метрического пространства. База топологии. Тривиальная, дискретная, индуцированная, метрическая топология.
Конструкции: дизъюнктное объединение, декартого произведение, фактор-топология, склейка по отображению, цилиндр, конус, надстройка, джойн.
Сохранение связности, линейной связности и компактности при непрерывных отображениях.
Классические контрпримеры: канторого множество положительной меры, кривая Пеано, континуум Брауера.
Эйлерова характеристика полиэдров, ee вычисление для поверхностй.
Топологическая классификация поверхностей (доказательство методом разреза и склейки).
Понятие о теории Морса, гладкая классификация поверхностей.
Гомотопность отображений и гомотопическая эквивалентность пространств, пространство путей и петель.
Локально-тривиальные расслоения, накрытья, теоремы о накравающем пути и о накрывающей гомотопии.
Фундаментальная группа и её основные свойства. Задание группы образующими и соотношениями. Пространства с данной фундаментальной группой.
Группа накрытия, эквивалентность и классификация накрытий над данной базой, универсальное накрытье, регулярные накрытья.
Разветвленные накрытья, разветвленное накрытье сферы $S^2$ ориентированной поверхностью, формула Римана-Гурвица.
Разветвленное накрытие любого компактного ориентированного многообразия над трехмерной сферой (доказательство с ``шахматной раскраской'').
Инварианты Арнольда $St$, $J^{\pm}$.

Литература

А.Фоменко, Д.Фукс Курс Гомотопической Топологии, Наука, Москва, 1989г.
Ю.Борисович и др. Введение в Топологию, Наука-Физматлит, Москва, 1995г.