|
II Заочный конкурс учителей по математике. Также вы можете скачать I. Решите задачи. 1. Управдом Остап Бендер собрал с жильцов деньги на установку новых квартирных номеров. Адам Козлевич заинтересовался, почему у них в третьем подъезде надо собрать денег на 20% больше, чем во втором, хотя квартир во всех подъездах поровну. Не растерявшись, Остап объяснил, что за двузначные номера приходится платить вдвое, а за трехзначные – втрое больше, чем за однозначные. Сколько квартир в каждом подъезде? 2. Контора «Тише едешь – дальше будешь» строит дорогу. В первый месяц она строит один километр дороги, а в каждый следующий месяц – 3. К некоторому числу справа приписывают по одной произвольной цифре, исключая цифру 9. Докажите, что рано или поздно получится составное число. 4. Даны две пересекающиеся окружности. Через одну из их общих точек А проводятся все возможные секущие, которые вторично пересекают данные окружности в точках В и С. Найдите геометрическое место точек М таких, что 5. Дан клетчатый квадрат размером 5´5. В некоторых клетках проведена одна из диагоналей, при этом никакие две диагонали не имеют общего конца. Какое наибольшее количество диагоналей могло быть проведено? II. В предложенных текстах могут содержаться математические ошибки (как в утверждениях, так и в ответах, решениях или доказательствах). Если утверждение неверно – приведите контрпример и найдите ошибки в доказательстве. Если неверно только решение (доказательство) – укажите ошибки и приведите верное решение (доказательство). 6. Уравнение. Решите уравнение: (x2 + 2x – 5)2 + 2(x2 + 2x – 5) – 5 = x. «Ответ»: «Решение». Пусть f(x) = x2 + 2x – 5, тогда уравнение имеет вид f(f(x)) = x или, что то же самое, f(x) = f–1(x). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x, поэтому, если они пересекаются, то точка пересечения графиков лежит на этой прямой. Таким образом, если число x0 – корень данного уравнения, то оно является и корнем уравнения f(x) = x. Решая уравнение x2 + 2x – 5 = x, получим, что x = 7. Рыцари. Собрались n рыцарей. Известно, что у каждого рыцаря не меньше, чем «Решение». Докажем утверждение задачи методом математической индукции. Для n = 2 утверждение очевидно. Пусть оно верно для некоторого n, докажем, что оно верно, когда количество рыцарей равно n + 1. Отправим одного (например, Петю) за дверь, а остальных n рыцарей рассадим за круглым столом. Теперь найдем место для Пети. Для каждого друга Пети рассмотрим его правого соседа. Если все эти соседи – враги, то врагов у Пети не меньше чем друзей, что противоречит условию. Следовательно, найдутся два друга Пети, сидящие подряд. Между ними мы и посадим Петю. 8. Пятиугольник. Найдите точку, лежащую в плоскости данного выпуклого пятиугольника, для которой сумма расстояний до всех его вершин наименьшая. «Ответ»: эта точка является предельной точкой последовательности пятиугольников, в которой каждый последующий пятиугольник образован диагоналями предыдущего. 
«Доказательство». Рассмотрим выпуклый пятиугольник ABCDE. Заметим, что четырёхугольник ABCD также выпуклый, и точка, для которой сумма расстояний до его вершин минимальна, это точка F пересечения его диагоналей. Теперь рассмотрим задачу о минимуме для пятиугольника, то есть «подключим» вершину E. Получим, что точка минимума для пятиугольника лежит на отрезке FE, то есть внутри угла AFD, образованного диагоналями AC и BD. Выбирая поочерёдно по четыре вершины пятиугольника и повторяя рассуждение, получим, что точка минимума должна лежать внутри пятиугольника, образованного пятью его диагоналями. Применяя всё вышесказанное к каждому следующему пятиугольнику, получим, что искомая точка лежит внутри любого из последовательности пятиугольников, стягивающихся в точку, то есть в этой предельной точке. Утверждение доказано. III. Задания этого блока выполнять не обязательно. 9. Какое из предложенных заданий Вам понравилось больше всего? 10. Какое задание Вы бы сами предложили на такой конкурс? (Запишите это задание и его решение.)
|
км, где x км – длина дороги, уже построенной к началу этого месяца. Сможет ли эта контора построить дорогу длиной 97 км?
.
.
друзей. Докажите, что их можно так рассадить за круглым столом, что справа и слева от каждого рыцаря будет сидеть его друг.