I.
Решите задачи.1. В четырехэтажном доме по две квартиры на каждом этаже. Дом освещается восемью лампочками: одна над подъездом, на улице, четыре – на площадках каждого этажа и еще три – на площадках между этажами. За освещение дома надо ежемесячно платить 9600 рублей. Сколько должны платить жители каждой квартиры, если они оплачивают освещение только своего и нижних этажей (то есть каждый платит только за те лампочки, светом которых пользуется)?
2.
Решите уравнение: 3× 2x + 2 = 7x + 17.3.
Существует ли многогранник, у которого: а) нет трех граней с одинаковым количеством ребер; б) все грани имеют различное количество ребер?4.
В остроугольном треугольнике АВС D – середина стороны АС, H – ортоцентр (точка пересечения высот). Прямая, проходящая через точку H перпендикулярно отрезку DH, пересекает стороны АВ и ВС в точках Е и F. Докажите, что HE = HF.5. Имеется 128 монет: одинаковых по виду, но попарно различных по весу. Они разложены на две стопки по 64 монеты, причем в каждой стопке их веса упорядочены по возрастанию. За какое наименьшее количество взвешиваний (на чашечных весах без гирь) можно гарантированно найти 64-ю по весу монету из всех имеющихся?
II. В предложенных текстах могут содержаться математические ошибки (как в утверждениях, так и в ответах, решениях или доказательствах). Если утверждение неверно – приведите контрпример и найдите ошибки в доказательстве. Если неверно только решение (доказательство) – укажите ошибки и приведите верное решение (доказательство).
6. Ортотреугольники. Пусть Н – ортоцентр (точка пересечения высот) треугольника АВС. Докажите, что треугольники АВС и ВСН имеют общий центр описанной окружности.
«Доказательство». Прежде чем доказывать утверждение теоремы докажем вспомогательное утверждение.
1) «Лемма». Прямые, проходящие через вершины треугольника перпендикулярно соответствующим сторонам ортотреугольника (треугольника, вершинами которого являются основания высот), пересекаются в одной точке.
«Доказательство леммы». Пусть AA’, BB’ и СС’ – высоты треугольника АВС, О – центр окружности, описанной около этого треугольника. Докажем перпендикулярность прямых ОВ и A’C’. Пусть Ð АСВ = g , тогда Ð АОВ = 2g , Ð ОВА = Ð ОАВ = 90° – g .
С другой стороны, из того, что каждый из треугольников
BC’A’ и B’AC’ подобен данному треугольнику, следует, что Ð АС’В’ = Ð BС’A’ = g , поэтому, С’C – биссектриса угла C’ ортотреугольника A’B’C’. Следовательно, Ð А’С’C =
Ð
А’С’B’ = (180°
– 2g
) = 90°
– g
= Ð
ОВА. Так как СC’^
AB, то из полученного равенства углов следует искомая перпендикулярность прямых.
Аналогично доказывается, что ОА^
B’C’ и ОС^ A’B’, то есть, прямые, о которых говорится в условии «леммы», пересекаются в точке О.2) Рассмотрим теперь произвольный треугольник АВС, в котором Н – ортоцентр. Очевидно, что у треугольников АВС и ВСН один и тот же ортотреугольник. По доказанной лемме эти треугольники имеют общий центр описанной окружности (поскольку эти центры можно получить как пересечение перпендикуляров к сторонам ортотреугольника из общих вершин В и С), что и требовалось доказать.
7.
Корабли.Два корабля идут по морю пересекающимися курсами с постоянными скоростями. В 9.00 расстояние между ними было 6 миль, в 10.00 – 5 миль, в 11.00 – 2 мили. В какой момент времени расстояние между кораблями наибольшее из возможных?
«Ответ». В 8 часов 24 минуты расстояние между кораблями было наибольшим.
«Решение
». Пусть корабли двигались по прямым а и b, пересекающимся в точке О, и в 9.00 они находились в точках А и В (см. рис.). Пусть также |OA| = S1 (миль), |OB| = S2 (миль), а скорости кораблей равны соответственно V1 миль в час и V2 миль в час. Тогда через t часов корабли будут находится в точках A’ и B’, пройдя V1t миль и V2t миль соответственно.Из треугольника А
’OB’ по теореме косинусов получим, что |A’B’|2 =
– 
(знаки в скобках учитывают, что корабли могут оказаться и на лучах, дополнительных к ОА и ОВ). Полученное уравнение показывает, что зависимость квадрата расстояния между кораблями от времени является квадратичной функцией.
Пусть ее уравнение
f(t) =at2 + bt + c. Выберем в качестве начала отсчета времени 9 часов 00 минут. Тогда, из условия задачи следует, что f(0) = c = 36; f(1) = a + b + c = 25; f(2) = 4a + 2b + c = 4. Решая систему уравнений
, получим, что 
.
Таким образом, функция имеет вид:
f(t) =–5t2 – 6t + 36. Свое наибольшее значение она принимает в точке
. Так как 
> 0, то в этот же момент времени будет наибольшим и расстояние между кораблями.
8.
Подслушанный разговор.– Даны два целых числа, больших 1. Их сумма не превышает 60. Сумму этих чисел я сообщаю Васе, а произведение – Феде. Можете ли вы угадать исходные числа? – задал вопрос учитель.
– Не могу, – ответил Федя.
– Я это знал заранее, – заметил Вася.
– Тогда я знаю эти числа! – воскликнул Федя.
– Тогда и я их знаю! – сказал Вася.
Ученики смогли правильно назвать задуманные числа. Попробуйте и Вы их назвать.
«Ответ». 4 и 13.
«Решение». Итак, Феде известно произведение натуральных чисел P = A´ B, а Васе – сумма этих чисел S = A + B, причем Федя не может угадать эти числа. Какими могли быть числа, чтобы Федя мог их угадать, зная произведение? Это возможно лишь в том случае, когда P раскладывается на множители единственным образом, например, если числа А и В – простые. Вася утверждает, что он знал заранее, что Федя не сможет угадать. Следовательно, S нельзя представить в виде суммы двух простых чисел.
1) Легко проверить, что любое четное число, не превышающее 60, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
Несколько примеров: 60 = 23 + 37, 58 = 5 + 53, 56 = 13 + 43 и так далее (придумать остальные примеры предоставляем читателю).
2) S ¹
3, поскольку число 3 нельзя представить в виде суммы двух натуральных чисел, больших 1.3) Очевидно, что нечетное число представимо в виде суммы двух простых чисел, только в том случае, если одно из слагаемых равно 2.
Например, число 59 невозможно представить в виде суммы двух простых чисел, поскольку 59 = 2 + 57, но 57 кратно 3. Число 57 также нельзя, так как 57 = 2 + 55.
Возникает вопрос, какие нечетные числа представить можно? Перебором несложно убедиться, что в виде суммы двух простых чисел можно представить следующие числа:
55 = 2 + 53, 49 = 2 + 47, 45 = 2 + 43, 43 = 2 + 41, 39 = 2 + 37, 33 = 2 + 31, 31 = 2 + 29, 25 = 2 + 23, 21 = 2 + 19, 19 = 2 + 17, 15 = 2 + 13, 13 = 2+ 11, 9 = 2 + 7, 7 = 2 + 5, 5 = 2 + 3.
То есть мы установили, что сумма
S не может быть равна: 5, 7, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 31, 33, 39, 43, 45, 49, 55.4) Отметим также, что простые числа
p, которые могут входить в Федино произведение только в качестве отдельного множителя (а не в составе другого множителя), таковы, что 2p > 30.Среди возможных произведений только два могли быть кратны числу 53. Каждое из чисел
318 = 6´ 53 и 212 = 4´ 53 позволяет Феде по произведению восстановить искомые числа и Вася, зная суммы 57 или 59, не стал бы утверждать, что Федя восстановить числа не сможет.Аналогично отпадают суммы 35, 37, 41, 47, 51 и 53, поскольку, зная произведения
31´ 4, 31´ 6, 37´ 4, 43´ 4, 47´ 4, 47´ 6 числа А и В также могут быть восстановлены однозначно.Для дальнейшего рассмотрения остались суммы: 11, 17, 23, 27 и 29.
Отметим, что после слов Васи можно утверждать, что сумма чисел А и В не превосходит 29, а, следовательно, что наибольший простой множитель, входящий в произведение не превосходит 13.
5)
Теперь воспользуемся вторым Фединым утверждением. Найдем, в каком случае, зная, что P = A´ B и то, что сумма S = A + B принимает одно из значений 11, 17, 23, 27, 29 Федя мог восстановить числа А и В.Перебор можно выполнить следующим образом. Записываем эти варианты в один столбец. Возле каждого, в строчку, выписываем варианты произведений для всех возможных разбиений на сумму двух слагаемых.
Варианты произведений, повторяющиеся в нескольких строках отмечаем (это те произведения, по которым Федя не смог бы определить числа при своем втором ответе).
Приведем соответствующую таблицу:
|
11 |
2´ 9=18, 3´ 8=24, 4´ 7=28, 5´ 6=30 |
|
17 |
2´ 15=30 , 3´ 14´ 42, 4´ 13=52, 5´ 12=60, 6´ 11=66, 7´ 10=70, 8´ 9=72 |
|
23 |
2´ 21=42 , 3´ 20=60, 4´ 19=76, 5´ 18=90, 6´ 17=102, 7´ 16=112, 8´ 15=120, 9´ 14=126, 10´ 13=130, 11´ 12=132 |
|
27 |
2´ 25=50, 3´ 24=72, 4´ 23=92, 5´ 22=110, 6´ 21=126, 7´ 20=140, 8х19=152, 9х18=162, 10´ 17=170, 11´ 16=176, 12´ 15=180, 13´ 14=182 |
|
29 |
2´ 27=54, 3´ 26=78, 4´ 25=100, 5´ 24=120, 6´ 23=138, 7´ 22=154, 8´ 21=168, 9´ 20=180, 10´ 19=190, 11´ 18=198, 12´ 17=204, 13´ 16=208, 14´ 15=210 |
|
35 |
2´ 33=66 , 3´ 32=96, 4´ 31=124, 5´ 30=150, 6´ 29=174, 7´ 28=196, 8´ 27=216, 9´ 26=234, 10´ 25=250, 11´ 24=264, 12´ 23=276, 13´ 22=286, 14´ 21=294… |
|
37 |
2´ 35=70 , 3´ 34=102, 4´ 33=132, 5´ 32=160, 6´ 31=186, 7´ 30=210, 8´ 29=232, 9´ 28=252, 10´ 27=270, 11´ 28=308… |
|
41 |
2´ 39=78 , 3´ 38=114, 4´ 37=148, 5´ 36=180, 6´ 35=210, 7´ 34=238, 8´ 33=264, 9´ 32=288… |
|
47 |
2´ 45=90 , 3´ 44=132, 4´ 43=172, 5´ 42=210, 6´ 41=246, 7´ 40=280, 8´ 39=312… |
|
51 |
2´ 49=98, 3´ 48=144, 4´ 47=188, 5´ 46=230, 6´ 45=270, 7´ 44=308… |
|
53 |
2´ 51=102 , 3´ 50=150, 4х49=196, 5´ 48=240, 6´ 47=282, 7´ 46=322… |
Так, если сумма чисел равна 11, то возможные произведения: 2´
9 = 18, 3´ 8 = 24, 4´ 7 = 28, 5´ 6 = 30, однако произведение чисел, равное 30, возможно и при другой сумме чисел (2´ 15 = 30 и сумма равна 17). Первые три произведения «уникальны», то есть не могут быть получены при других суммах. Поскольку их больше одного, то мы не сможем однозначно определить эти числа.Если Федя может указать числа по их произведению, то это произведение должно встречаться только один раз среди произведений слагаемых, составляющих эти числа. Вася может угадать числа по их сумме только в случае, если этим числам соответствует «уникальное» произведение.
Эта сумма равна 17, поскольку остальным суммам не соответствуют «уникальные» произведения. Единственное «уникальное» произведение – это 52.
Проверим, подходят ли эти числа:
Вася знает сумму 17, а Федя - произведение 52. Федя не может определить множители, так как 52 = 4´
13 = 2´ 26. Вася знает заранее о невозможности определения чисел Федей, так как 17 не представимо в виде суммы двух простых. Узнав о том, что Вася знает заранее, что у Феди числа составные, Федя анализирует возможные суммы своих сомножителей: 4 + 13 = 17, 2 + 26 = 28.28 представимо как 23 + 5 (сумма простых чисел), а 17 – нет. Значит, Федя может назвать числа 4 и 13.
Вася анализирует возможные произведения слагаемых:
2´ 15 = 30 = 5´
6 (сумма 11)3´ 14 = 42 = 2´
21 (сумма 23)4´
13 = 52 (сумма «уникальна»)5´ 12 = 60 = 3´
20 (сумма 23)6´ 11 = 66 = 2´
33 (сумма 35)7´ 10 = 70 = 2´
35 (сумма 37)8´ 9 = 72 = 3´
24 (сумма 27)Таким образом, Вася также выбирает числа 4 и 13.
III.
Задания этого блока выполнять не обязательно.9.
Какое из предложенных заданий Вам понравилось больше всего?10.
Опишите какой-либо случай из Вашей педагогической деятельности, когда Вы или Ваши ученики допускали неочевидную математическую ошибку (при каких обстоятельствах это было, в чем заключалась ошибка и как Вы вышли из этой ситуации).