IV Заочный конкурс учителей по математике

IV Заочный конкурс учителей по математике.

I. Решите задачи.

N1. Изготовитель должен переслать заказчику 1000 одинаковых деталей. Известно, что их пересылка в ящике, вмещающем 70 деталей, стоит 50 рублей, в ящике, вмещающем 90 деталей, стоит 70 рублей, а в ящике, вмещающем 120 деталей, - 90 рублей. Найдите наименьшую возможную стоимость пересылки, если каждый используемый ящик должен быть загружен полностью.

N2. Две правильные пирамиды, четырехугольную и треугольную, склеили по треугольной грани. Известно, что длины всех ребер пирамид между собой равны. Сколько граней у получившегося многогранника?

N3. В школьном шахматном блиц - турнире каждый участник встречался с каждым по одному разу. Встречи каждого тура проходили одновременно. Опасаясь, что инвентаря не хватит, ровно половина участников принесла его из дома: большая часть из них принесла шахматы, а остальные принесли шахматные часы. В итоге, в каждом туре использовались одни принесенные часы и один из принесенных комплектов шахмат. По окончании турнира выяснилось, что каждый принесенный комплект шахмат использовался одинаковое количество раз и каждые принесенные часы также использовались одинаковое количество раз. Найдите количество участников турнира.

N4. Даны три концентрические окружности радиусов 3, 5 и 7 с центром в точке О. Рассматриваются всевозможные треугольники, каждая вершина которых расположена ровно на одной из этих окружностей. Докажите, что для треугольника наибольшего периметра точка О является центром вписанной окружности.

II. Методическая часть.

В предложенных текстах (N5 и N6) могут содержаться математические ошибки (как в утверждениях, так и в ответах, решениях или доказательствах). Если утверждение неверно - приведите контрпример и найдите ошибки в доказательстве. Если неверно только решение (доказательство) - укажите ошибки и приведите верное решение (доказательство).

N5. Длина каждой стороны четырехугольника - целое число, причем сумма любых трех из этих чисел делится на четвертое. Верно ли, что в этом четырехугольнике обязательно найдутся хотя бы две равные стороны?

"Ответ": да, верно.

"Решение". Разделим длины сторон данного четырехугольника на их наибольший общий делитель. Получим длины сторон четырехугольника, также удовлетворяющего условию задачи, при этом наибольший общий делитель длин его сторон равен 1, поэтому наименьшее общее кратное длин сторон равно их произведению. Из условия задачи вытекает, что сумма длин всех сторон делится на каждую из них, а следовательно, делится на их наименьшее общее кратное, то есть на их произведение.

Предположим, что все длины сторон в исходном четырехугольнике различны. Тогда они различны и в новом четырехугольнике. Пусть d - длина наибольшей стороны нового четырехугольника. Тогда сумма длин его сторон меньше 4d, а произведение длин сторон не меньше, чем 1× 2× 3× d = 6d. Следовательно, сумма длин сторон не делится на их произведение.

Полученное противоречие показывает, что в исходном четырехугольнике найдутся хотя бы две равные стороны.

N6. "Теорема". В связном графе без циклов любые две вершины соединяет единственный (простой) путь.

"Доказательство". Поскольку граф - связный, то путь всегда существует. Докажем, что он единственный. Пусть это не так, и существуют два пути.

Если эти пути не содержат внутри совпадающих вершин, то, пройдя в одну сторону по одному из них, а в другую сторону - по другому пути, мы получим цикл.

Если же внутри есть совпадающие вершины, то пойдем первым путем до тех пор, пока он совпадает со вторым. Обозначим через А последнюю совпадающую вершину (то есть следующая вершина за А на первом пути не принадлежит второму пути). Будем идти дальше первым путем до тех пор, пока не дойдем до вершины, которая вновь лежит на втором пути. Ее обозначим через B.

Тогда часть первого пути от А до B и часть второго пути от B до A в объединении образуют цикл, что противоречит условию задачи.

Вокруг ЕГЭ...

N7. В книге Кочагин В.В. ЕГЭ-2008. Математика. Тематические тренировочные задания /В. В. Кочагин, М. Н. Кочагина. - М.: Эксмо, 2008 / было предложено задание (NС62, стр. 29): Найдите значение выражения , если .

Прокомментируйте это задание так, как сочтете нужным.

N8. Ниже приведены три задачи, стоявшие на одинаковых позициях в разных вариантах ЕГЭ 2008, и показавшие значительное расхождение в проценте решаемости. В каждой такой паре укажите задание, которое вы считаете более сложным, и обоснуйте свою точку зрения.