VI Заочный конкурс учителей по математике.

N1. На рынке продавали раков: больших – по 5 рублей, маленьких – по 3 рубля, а также жаб – по рублю. Иван и Степан купили себе раков на одинаковые суммы денег, причем Иван купил больших и маленьких раков поровну, а Степан – вдвое меньше больших раков, чем маленьких. Иван расплатился одной сторублевой купюрой, а Степан – несколькими десятирублевыми. У продавца не оказалось мелких денег, поэтому он выдал сдачу Ивану опять же раками, а Степану – жабами. Сколько всего животных унесли приятели с рынка?

N2. В стране 2011 городов. Какое наименьшее количество авиалиний потребуется, чтобы из любого города добраться в любой другой, делая не более двух пересадок?

N3. В основании пирамиды РАВСD расположен четырехугольник АВСD, в котором АВ = ВС = 6, угол АВС равен 60° , угол BСD равен углу DАС и равен 30⁰. Каждая боковая грань пирамиды образует с плоскостью основания угол 45^o. Найдите объем пирамиды.

N4. Докажите, что для любых действительных чисел а, b и c выполняется неравенство: |a| + |b| + |c| + |a + b + c| ³ |a + b| + |b + c| + |c + a|.

N5. Даны три попарно пересекающиеся окружности, в которых последовательно соединены точки их попарного пересечения. Длины получившихся хорд равны a, b, c, d, e и f (см. рисунок). Найдите и обоснуйте равенство, связывающее между собой данные длины хорд.

II. Методический блок.

N6. "Задача". Рассматриваются все треугольники АВС, у которых фиксированы длина стороны АВ и сумма длин двух других сторон. У какого из этих треугольников высота, проведенная к стороне АВ, имеет наибольшую длину?

"Решение". Так как S_ABC = AB× h и длина АВ – фиксирована, то высота h имеет наибольшую длину, если S_ABC – принимает наибольшее значение. Поскольку S_ABC = рr и полупериметр р данного треугольника зафиксирован, то S_ABC – наибольшая, если наибольшее значение принимает радиус r окружности, вписанной в данный треугольник. Но , значит, r принимает наибольшее значение при наибольшем значении тангенса указанного угла.

Угол a = < 90° , функция tga на промежутке (0; 90° ) возрастает от 0 до плюс бесконечности, то есть наибольшего значения тангенса не существует, значит и треугольника с наибольшей длиной высоты также не существует.

N8. В самостоятельной работе для 10 класса было дано следующее дополнительное задание: "Найдите все значения x, для которых выполняется равенство arctg(x^–1) = arcctgx". Учитель получил четыре различных решения, которые приведены ниже.

1) Решение Коли. Найдем тангенсы от каждой части равенства: ; = = . Значит, исходное равенство выполняется при всех значениях x, кроме нуля.

2) Решение Оли. Найдем котангенсы от каждой части равенства: = = x; = x. Значит, исходное равенство выполняется при всех значениях x.

3) Решение Саши. Так как , а = = не существует (выражение не имеет смысла), то равенство не выполняется ни при каких значениях x.

4) Решение Маши. Заметим сначала, что x не равен нулю. Воспользуемся затем определениями обратных тригонометрических функций. Пусть arctg(x^–1) = a , тогда tga = , где – < a < ; arcctgx = b , тогда ctgb = x, где 0 < b < p . Следовательно, сtga = x = ctgb . Так как на промежутке (0; p ) функция котангенс убывает, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента, то есть a = b . Значит, исходное равенство верно при всех значениях x, кроме нуля.