\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 4\qquad  04.10.2013}
\hrule

\medskip
\centerline{{\large \bf {\small Сколько нас?} Четыре!}}
\medskip

\q1. Найдите, пожалуйста, количество способов разбить 16 человек на пары.

\q2. Докажите алгебраически (т.е. используя формулу), что $C_{n+1}^{k}=C_{n}^{k}+C_{n}^{k-1}$.

\q3. В графе на $n$ вершинах степень каждой вершины не превосходит 9. Докажите, что его вершины можно покрасить в 10 цветов правильным образом, то есть так, чтобы вершины, соединенные ребром, были разного цвета.

\medskip
\hrule
\medskip

\q4. Докажите во славу Ньютона и бинома: $C_{n}^{0}-C_{n}^{1}+\ldots+(-1)^{k}C_{n}^{k}+\ldots+(-1)^nC_{n}^{n}=0$.

\q5. В некотором государстве каждый город соединен с каждым дорогой. Сумасшедший король хочет ввести на дорогах одностороннее движение так, чтобы выехав из любого города, в него нельзя было вернуться. Можно ли так сделать?

\q6. Можно ли представить единицу как сумму 10 дробей, числитель каждой из которых равен 1, а знаменатель~--- нечетное число?

\q7. Число {\it выглядит как простое}, если оно составное, но не делится 
ни на 2, ни на 3, ни на 5. (Пример такого числа~--- 91.) Среди чисел от 1 
до 1000 имеется 168 простых. А сколько натуральных чисел, не превосходящих 
1000, выглядят как простые? 
% 100 
% AHSME 2005

\q8. Сколькими способами хромая ладья может дойти с поля a1 до поля h8, не побывав на поле e6? (хромая ладья ходит на одну клетку вправо или вверх)

\q9. Докажите, что для любого натурального $n$ выполнено равенство $$1^2+2^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$ Запомните эту формулу.

\q10. В прямоугольнике $3 \times n$ (3 строки, $n$ столбцов) расставлены 
фишки трех цветов по $n$ штук каждого цвета. Докажите, что переставляя фишки 
в строчках, можно сделать так, чтобы в каждом столбце были фишки всех трех 
цветов.
 
 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
