\documentclass[14pt]{extarticle} 
\usepackage{amssymb} 
\usepackage{amsmath} 
\usepackage[dvips]{graphicx} 
\usepackage[utf8]{inputenc} 
\usepackage[russian]{babel} 
 
\pagestyle{empty} 
 
\textwidth=190mm 
\textheight=277mm 
 
\oddsidemargin=10mm 
\topmargin=10mm 
 
\headheight=0in 
\headsep=0in 
 
\hoffset=-1in 
\voffset=-1in 
 
\input basic.sty 
 
\begin{document} 
 
{{ 
\noindent{\it Гимназия №1543\qquad 8$^{\text{в}}$ класс \hfill Серия 16\qquad  07.02.2014}
\hrule

\medskip
\centerline{\large \bf Два в степени два в степени два}
\medskip

\q1. Сумма двух натуральных чисел равна 153. Какое наибольшее значение может принимать их наибольший общий делитель?

\q2. Имеется $n$ целых чисел ($n>1$). Известно, что каждое из них сравнимо по модулю $n$ с произведением всех остальных. 
Докажите, что сумма квадратов этих чисел делится на $n$.

\medskip
\hrule
\medskip

\q3. $a$, $b$~--- целые числа. Оказалось, что $(a,b)+[a,b]=a+b$. Докажите, что одно из чисел делится на другое.

\q4. На диагонали $AC$ прямоугольника $ABCD$ выбраны точки $E$ и $F$ такие, что $AE=AB$ и $AF=AD$. 
Пусть $G$ и $H$~--- основания перпендикуляров, опущенных на сторону $AB$ из точек $E$ и $F$ соответственно. Докажите, что $AG+FH=AC$. 

\q5. Какое число больше: $31^{11}$ или $17^{14}$?

\q6. Дан правильный 45--угольник. Можно ли в его вершинах расставить цифры 0--9 так, чтобы для любой пары различных цифр нашлась сторона, 
концы которой занумерованы этими цифрами?

\q7. Имеется 7 палок длины которых заключены между $0{,}1$ м и 1 м. Докажите, что из каких-то трех из них можно сложить треугольник.
 
}} 
 
\vfill 
 
\hrule 
\medskip 
\centerline{\it Материалы, а % 
также полезная информация есть % 
на сайте:} 
 
\centerline{http:% 
//www.mccme.ru/s43/math/} 
 
\end{document} 
