\documentclass{article}
\begin{document}



\medskip
ТЕОРЕМА.  Двумерная  модель  действительных  алгебраических
чисел со сложением и умножением несамовыразима.
\par
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.  Будем   рассматривать   только   предикаты
$P(x,y)$, являющиеся всюду определенными непрерывними функциями $y$
от $x$ и записывать их как $P(x)$. Пусть  все  алгебраические  числа
разбиты на подряд идущие отрезки, и на  каждом  отрезке  функция
$P(x)$  задана  некоторым  многочленом  от $x$  с   алгебраическими
коэффициентами.      Будем      называть      функцию $P(x)$
конечно-многочленной, если количество точек $x$, справа и слева от
которых $P$ задается различными многочленами, конечно, в противном
случае  назовем $P$   бесконечно-многочленной.   Очевидно,   что
конечно-многочленная $P$   задает    выразимый    предикат,    а
бесконечно-многочленная  ---  невыразимый.   Поэтому,   достаточно
показать, что не существует формулы $F$,  в  бескванторной  части
которой стоит полином от $x_{1},\ldots,
x_{n},P(x_{1}),\ldots,
P(x_{n})$,и такой,  что
при подстановке вместо $P$ любой конечно-многочленной  функции, $F$
становится истинной, а бесконечно-многочленной --- ложной.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.  Пусть  дан  набор   функций   от   переменных
$x_{1},\ldots,
x_{n}$,   каждая   из   которых   задана    многочленом    от
$x_{1},\ldots,
x_{n},P(x_{1}),\ldots,
P(x_{n})$,    где $P$     ---     конечно     или
бесконечно-многочленная  функция.  Тогда  1-диаграммой   данного
набора при фиксированных $x_{2},\ldots,
x_{n}$  назовем  последовательность
наборов знаков ( плюс,  минус  или  ноль)  значений  многочленов
данного набора в том порядке, в каком эти наборы встречаются при
изменении $x_{1}$  от  $-\infty$  до $+\infty $.  Назовем $m$-диаграммой   (   при
фиксированных $x_{n},\ldots,x_{m+1}$) последовательность $(m-1)$ диаграмм  в
том порядке, в каком они встречаются при изменении $x_{m}$ от $-\infty $  до
$+\infty$. $m$-диаграммой по линии  называется  последователтность $(m-1)$
диаграмм,  возникающая,  когда  переменные $x_{n},\ldots,x_{m}$  а   также
коэффициенты   в   многочленах   функции $P$,    изменяются    в
соответствующем пространстве по непрерывной линии.

Очевидно,  достаточно  доказать  следующее  :  для  данного
набора $M$  многочленов  от $x_{1},\ldots,
x_{n},P(x_{1}),\ldots,
P(x_{n})$  существуют
такие конечно и бесконечно-многочленные функции, при подстановке
которых вместо $P$ набор $M$ имеет одинаковую $n$-диаграмму.
----------------------------------------------------------------
Будем считать  функцию $P$  конечно-многочленной  и  имеющей
степень гладкости $n-1$ , а степень определяющих  ее  многочленов
$n.$  Кроме  того,  считаем,  что $P(x)=0,$  если $x\le 0.$   Обозначим
$P(y)=a_{n}(y)y^{n}+a_{n-1}(y)y^{n-1}+ \ldots
 +a_{1}(y)y+a_{0}(y)$. Здесь запись $a_{i}(y)$
показывает, что  коэффициент $a_{i}$  не  константа,  а  ступенчатая
функция, зависящая от $y.$  Опишем  те  значения $x_{m}$,  в  которых
происходит смена $(m-1)$-диаграммы  в $m$-диаграмме.  Будем  вести
описание индуктивно в порядке увеличения $m.$  Пусть $m$=1.  Тогда,
очевидно, значения $x_{n},\ldots
,x_{1}$, в которых меняется 0-диаграмма  на
любой непрерывной линии в $x_{n},\ldots
x_{1}$ есть те значения,  в  которых
какой-либо многочлен из $M$ становится равным нулю  или  перестает
быть равным  нулю.  Заметим,  что  все  пространство  переменных
$x_{1},\ldots
,x_{n}$ разбито на области, в которых любой многочлен $g$  из $M$
определен многочленом $p$ с  постоянными  коэффициентами  и  любая
точка $x_{1},\ldots
,x_{n}$, в которой $g$ меняет знак, является и  точкой,  в
которой многочлен $p$,  соответствующий  области  точки $x_{1},\ldots
,x_{n}$
тоже меняет знак. Мы описали  точки  смены  диаграммы  для $m=1.$
Пусть для некоторого $m$ следующим образом описаны  все  возможные
значения $x_{m-1}$ смены $(m-2)$-диаграммы.
\par
\noindent ~~~~~Есть конечное число систем из конечного числа  многочленов,
приравненных к нулю. Каждый многочлен может содержать переменные
$x_{n},\ldots
,x_{m+1},x_{m},y$, где $y$ есть либо $x_{m-1}$, либо одна из  некоторого
конечного множества переменных $y_{1},\ldots
,y_{i}$.  В  записи  многочлена
также могут пртсутствовать  коэффициенты $a_{j}(x_{m-1})$  и $a_{j}(y_{i})$  и
функции $P(x_{n}),\ldots
,P(x_{m})$. Если для переменной $y_{i}$ нет  многочлена,
в котором она нетривиально присутствует ( присутствие $y$ в $a_{j}(y)$
не учитывается ),  то  значения $a_{j}(y_{i})$  считаем  постоянными  и
равными $a_{j}(y_{i})$ для $y_{i}$ из самого правого полуотрезка ( компоненту
$y_{i}$  в  решении  системы  можно  считать  равной  бесконечности).
Выполняются следующие условия :
\par
\noindent ~~~~~1) Для любой системы $S$  ее  решение  в  пространстве  всех
переменных,  которые  нетривиально  присутствуют  в  многочленах
системы $S$, есть объединение  конечного  числа  поверхностей  без
края гладкости $n-m.$
\par
\noindent ~~~~~2) Вдоль любой непрерывной линии в пространстве  переменных
$x_{n},\ldots
,x_{m},x_{m-1},A (m-2)$-диаграмма может меняться только в  точках
появления  или  исчезновения  на  этой  линии  проекции  решения
какой-либо из имеющихся систем. ( Здесь $A$  означает  непрерывное
изменение  коэффициентов $a_{j}$  на  одном  отрезке  с  сохранением
гладкости функции $P)$.
\par
\noindent ~~~~~Очевидно, для случая $m=1$ эти условия выполняются. Очевидным
следствием этих условий является то, что, как и  в  случае $m=1,$
появление ( исчезновение ) проекции  решения  некоторой  системы
совпадает  с  появлением  (  исчезновением  )  решения   системы
многочленов с постоянными  коэффициентами,  соответствующей  той
области, в которой находится точка появления  (  исчезновения  )
решения ( будем называть такую систему фрагментом системы $S)$.
\par
\noindent ~~~~~Составим  теперь   соответствующие   системы,   описывающие
значения $x_{m}$ смены $(m-1)$-диаграммы. Пусть есть непрерывная  линия
в пространстве $x_{n},\ldots
,x_{m},A.$ Из условий 1),2) и  того  что  корни
многочленов непрерывно изменяются,  с  изменением  коэффициентов
легко следдует, что $(m-1)$-диаграмма  может  меняться  только  в
следующих чтырех случаях :
\par
\noindent ~~~~~1. Исчезновение или появление решения  фрагмента  некоторой
системы,   произошедшее   в   области,   соответствующей   этому
фрагменту.
\par
\noindent ~~~~~2.   Уход   решения   фрагмента   некоторой   системы    на
бесконечность,   или   появление   его   из   бесконечности   по
соответствующей области.
\par
\noindent ~~~~~3. Начало или конец совпадения координаты $x_{m-1}$ двух решений
двух фрагментов одной или  разных  систем,  где  каждое  решение
находится в области, соответствующей своему фрагменту.
\par
\noindent ~~~~~4. Некоторый многочлен некоторого фрагмента становится  или
перестает быть нулевым.
\par
\noindent ~~~~~Опишем новые системы, охватывающие эти случаи.
\par
\noindent ~~~~~1.Случай 1 характеризуется тем, что при некотором  значении
$x_{m}$  в  некотором  корне  многочлена  из  какого-либо   фрагмента
производная этого многочлена тоже равна нулю. Для каждой системы
и каждого многочлена  этой  системы  делаем  следующее.  Систему
$p(x_{n},\ldots
,x_{m},y)=0, p'_{y}(x_{n},\ldots
,x_{m},y)=0$ решаем относительно $x_{m}$ и $y$,
чтобы получить системы, в которых каждое уравнение  не  содержит
либо $x_{m}$ либо $y.$  Исключение  переменных  производим  стандартным
способом эквивалентных преобразований  с  рассмотрением  случаев
равенства нулю коэффициентов,  причем  нулевые  коэффициенты  не
будут присутствовать в многочленах. После  разделения $x_{m}$  и\quad $y$
используем уравнения с $x_{m}$  для  отделения $x_{m}$  от $y _{i}$в  других
уравнениях  системы.  В  процессе  разделения  может  возникнуть
ситуация, когда одно или оба уравнения преобразуемой системы  не
содержат ни $x_{m}$ ни $y.$ Если при этом одно уравнение содержит и $x_{m}$
и $y$, то  легко  видеть,  что  это  уравнение  вместе  с  другими
уравнениями данной системы определяет подповерхность ( возможно,
с краем ) исходной поверхности, имеющую ту же степень  гладкости
во внутренних точках, что и исходная поверхность.  Понятно,  что
для выявления оставшихся невыявленными точек смены диаграммы  мы
можем повторить всю описанную процедуру со взятием  производной,
беря  в  качестве  исходной  получившуюся  поверхность.  Так  мы
продолжаем до тех пор, пока все варианты не дадут нам  уравнения
без одной из переменных.  В  случае,  когда  в  некоторой  новой
системе любая из переменных $x_{m-1},y_{1},\ldots
,y_{i}$, входившая  в  старую
систему, входит и в некоторое уравнение новой системы,  нетрудно
понять, что поверхность,  задаваемая  новой  системой,  является
подповерхностью без края старой  поверхности  и  имеет  степенть
гладкости не более чем на  1  меньше  степени  гладкости  старой
поверхности. Если же некоторая переменная $y$  исчезает,  то  это
означает, что соответствующий многочлен становится  тождественно
равным нулю (  случай  4  ).  Из  геометрических  соображений  и
условия 1) легко видеть, что в этом  случае  возможны  лишь  два
варианта  :  либо  при  данном $x_{m}$  обнуляются   все   фрагменты
соответвущей  системы  и  тогда  мы  считаем $y$  бесконечным,  а
коэффициенты $a_{j}(Y)$   равными   коэффициентам   самого   правого
фрагмента  ,  либо  данная  точка  смены  диаграммы  описывается
соседним фрагментом, причем там $y$ не исчезает.В последнем случае
новую систему отбрасываем.
\par
\noindent ~~~~~2. Случай 2 характеризуется,  очевидно,  тем,  что  старший
коэффициент при стремящейся к бесконечности координате $y$ во всех
многочленах некоторой системы обращается в ноль. Таким  образом,
мы   уравнения\quad $p(x_{n},\ldots
,x_{m},y)=0$    заменяем    на    уравнения
$p_{1}(x_{n},\ldots
,x_{m})=0,$ где $p_{1}$ - коэффициент при наибольшей степени $y$ в
$p$, а дальше  разделяем  переменные  так  же,  как  в  случае  1.
Переменная $y$ исчезает, она считается бесконечной.
\par
\noindent ~~~~~3. В случае 3 для двух систем, в одной из  которых  имеется
уравнение $p_{1}(x_{n},\ldots
,x_{m},y)=0,$  а  в  другом  р$_{2}(x_{n},\ldots
,x_{m},x_{m-1})=0$
состовляем систему $p_{1}=0, p_{2}=0,$ затем разделяем в ней  переменные
$x_{m}$ и $x_{m-1}$ так же, как в случае 1. После этого все переменные $y_{i}$в
двух системах расщепляем : вместо $y_{i}$ в одной системе ставим $y^{1}_{i}$,
а в другой $y^{2}_{i}$. Затем разделяем по отдельности в  каждой  системе
$y^{j}_{i}$ и $x_{m}$ так же, как в случае 1.
\par
\noindent ~~~~~4.Случай 4 уже был учтен в пункте 1.
\par
\noindent ~~~~~Итак, мы  получили  новые  системы  уравнений,  описывающих
точки смены $(m-1)$-диаграммы по  линии  в $x_{n},\ldots
,x_{m}$.  Выполнение
условий 1) и 2) очевидно из геометрических соображений.
\par
\noindent ~~~~~Для бесконечно-многочленной функции $P$  процедура  описания
точек смены диаграммы отличается, очевидно,  лишь  в  случае  2.
Однако, когда длина соседних отрезков быстро растет, а изменение
коэффициентов многочленов, задающих $P$, быстро  уменьшается,  то,
очевидно, вместо значений $a_{j}(y)$ на самом  правом  отрезке  нужно
взять предельное значение $a_{j}$.
\par
\noindent ~~~~~Итак, в конце у нас получилось  описание  значений $x_{n}$смены
$(n-1)$-диаграммы  в  виде  систем  многочленов.   По   построению
считаем, что коэффициенты при переменных ( многочлены только  от
$a_{j}(y_{i}))$  отличны  от  нуля.  При  заданной  конечно-многочленной
функции $P$  каждая  система  определяет  возможные  точки  смены
$(n-1)$-диаграммы набора $M$ как проекции на  ось $x_{n}$  решений  этой
системы  в  своем  для  каждой  системы  пространстве   конечных
переменных, то есть тех, которые нетривиально входят в некоторый
многочлен.  При  этом,  если  переменная $y$  не  входит  в   это
пространство,   то   коэффициенты\quad $a_{j}(y)$   считаются    равными
коэффициентам самого правого многочлена в определении функции $P.$
\par
\noindent ~~~~~Будем     по     шагам      строить      последовательность
конечно-многочленных функций, изменяя ненамного на  каждом  шаге
самый правый многочлен, начиная с некоторого достаточно далекого
места. При этом $n$-диаграмма набора $M$ не будет меняться, а  точки
$x_{n}$ смены $(n-1)$-диаграммы будут  сдвигаться  на  малую  величину.
Тогда,   как   следует   из   нашего   построения,    предельная
бесконечно-многочленная  функция  даст  для  набора $M$   ту   же
диаграмму.  Опишем   один   шаг   этого   процесса.   Рассмотрим
пространство конечных переменных произвольной системы $S.$  Перед
очередным  шагом  оно  разбито  на   прямоугольные   области   (
ограниченные и неограниченные ), где в одной области все $a_{j}(y_{i})$
не меняются. Назовем типом области информацию о  том,  по  каким
переменным она ограничена  (  такие  переменные  будем  называть
отрезочными ), по каким неограничена ( назовем такие  переменные
лучевыми  )  и  по  каким  парам  переменных  ее   проекция   на
соответствующие  оси  дает  одинаковые  отрезки.   Для   каждого
многочлена от коэффициентов $a_{j}$ все типы областей делятся на  те,
где  он  становится  тождественно  равным  нулю,  если  положить
$a_{j}(y_{i})=a_{j}(y_{k})$ для пар $(y_{j},y_{k})$ одного типа, и те,  где  он  после
такого преобразования не равен тождественно нулю. С  перваго  же
шага будем выбирать коэффициенты $a_{j}$ так, чтобы  все  нужные  нам
ненулевые выражения от $a_{j} ($ из построения будет  видно  какие  )
были не равны нулю.
\par
\noindent ~~~~~Решения систем состоят из решений фрагментов этих систем  в
областях, соответствующих фрагментам. Возьмем достаточно большое
$K$, в частности такое, чтобы все конечные координаты решений всех
систем оказались меньше его. На  луче  от $K$  до $+\infty $  мы  должны
изменить   многочлен,   определяющий\quad $P.$   При   этом   прежние
неограниченные области пространства каждой системы разделятся на
несколько областей. Мы стремимся к тому, чтобы имеющиеся решения
систем  сместилмсь  на  малую  величину,  а  новых  решений   не
появилось. Очевидно, что в областях, тип которых не изменился по
сравнению с  типом  старой  области,  в  которую  входила  новая
область раньше, все решения  систем  смещаются  мало  при  малом
изменении коэффициентов ( мы выбирали $a_{i}$ так, чтобы коэффициенты
и их комбинации, обеспечивающие отсутствие кратных корней,  были
ненулевыми; смещение происходит только за счет изменения $a_{j}(y_{i})$
для отсутствующих\huh ( бесконечных $) y_{i})$.  Новых  решений  в  таких
областях не появится , так как решения всех тех систем,  которые
потенциально могли бы иметь решения  в  областях  данного  типа,
останутся ( немного сдвинувшись ) в тех же областях, в которых и
были.
\par
\noindent ~~~~~В области, тип которой изменяется, некоторые координаты  из
лучевых становятся отрезочными, при этом у координат, остающихся
лучевыми, изменяются (  но  одинаково  )  коэффициенты $a_{i}$.  \huh ти
коэффициенты становятся в общем случае не равными  коэффициентам
при  отрезочных  координатах.  Пусть $y$  -  одна  из  координат,
превращающихся из лучевых в отрезочные. Изменим функцию $P(y)$  на
луче $[ K, +\infty  [$ следующим образом. Прибавим к правому  многочлену
$p(y)$ многочлен, полученный из многочлена $(y-K)^{n}$, добавлением при
каждом члене вида $c*K^{k}x^{n^{-}k}$, где $k>0,$ коэффициента $\epsilon ^{m*k}$,  где $m$
достаточно  велико, $\epsilon $  достаточно  мало,  а  при  члене $x^{n}$   -
коэффициента $\epsilon $. Чтобы уточнить $\epsilon $  и $m$  заметим,  что  при $\epsilon $\huh 0
коэффициенты $a_{k}(y_{i})$,  где $y_{i}$  остается  лучевой,  стремятся  к
коэффициентам $a_{k}(y)$  и  стремятся  одинаково.  В  коэффициентах
некоторого многочлена $p$  рассматриваемой  системы,  нетривиально
содержащего $y$,  пробуем  положить $a_{k}(y)=a_{k}(y_{i})=a_{k}$   для   всех
остающихся лучевыми $y_{i}$. Те коэффициенты  многочлена $p$,  которые
при этом не  обнулились,  оставляем  без  изменений,  а  в  тех,
которые обнулились, выносим разность $a_{k}(y_{i})-a_{k}(y)$ за скобки. Так
делаем для всех $k ($ возможно для одного $k$ несколько раз ) до тех
пор,  пока  процесс  не  стабилизируется.   После   этого,   все
вынесенные разности $a_{k}(y_{i})-a_{k}(y)$ заменим на $c*K^{n-k}*\epsilon ^{m(n-k)} ($ при
$k\neq n )$ или на $\epsilon  ($ при $k=n )_{.}$  В  полученном  выражении  сократим
сначала все произведения $K*\epsilon $,  а  затем  сократим $\epsilon $.  Так  как
максимальная степень коэффициентов $a_{k}(y)$ определяется набором $M$,
то, очевидно, что при достаточно большом $m$ в  тех  коэффициентах
получившагося выражения, где есть множитель $K$, есть и  множитель
$\epsilon $.  При $\epsilon $\huh 0  эти  коэффициенты  стремятся  к  нулю,   а   корни
полученного  выражения  стремятся  к   корням   многочлена\quad $p'$,
получающегося из данного выражения отбрасываноем всех  членов  с
множителем $\epsilon $. Многочлен $p'$ мы с самого начала  можем  отнести  к
числу тех, у которых коэффициенты, начиная  с  некоторого  шага,
ненулевые и меняются  мало.  При $\epsilon $\huh 0  координаты $y$  у  решений
системы будут стремится к корням  многочлена $p'$  и,  начиная  с
некоторого шага, будут при малом $\epsilon $ выходить за  пределы  отрезка
изменения координаты $y$ в данной области. При этом, очевидно, все
решения системы покинут рассматриваемую область, и в  ней  новых
решений не появится. Теорема доказана.
\par
\end{document}
