Дорогой друг!
Приглашаем тебя принять участие в заочном конкурсе по математике и информатике. Участвовать в нём может любой ученик 6-8 класса, решивший по крайней мере пять из предлагаемых 20 задач. Для этого он должен не позднее 28 октября выслать полные решения задач по адресу
Москва, 119002, Большой Власьевский пер., дом 11, Московский центр непрерывного математического образования, заочный конкурс, ... класс.
На письме должен быть указан обратный адрес, включая имя и фамилию. В письмо следует вложить два пустых незаклеенных конверта с маркой, написав на них свой адрес (В одном конверте будут посланы результаты проверки и приглашение на разбор. Другой конверт может быть использован для информации о заочном конкурсе, математических кружках, олимпиадах и пр.)
На каждом листе работы просим указывать фамилию, имя, номер школы и класс. В письмо следует вложить заполненную карточку участника (см. на обороте).
Справки по всем вопросам, связанным с конкурсом, можно получить по телефону (495) 945-82-16 (попросить соединить с организаторами заочного конкурса), а также по электронной почте: zmk@mccme.ru. (Очень просим Вас НЕ присылать решения по электронной почте.) Информация о заочном конкурсе имеется в Internet на сайте http://www.mccme.ru/zmk/.
Желаем успеха!
1. Два игрока сыграли 10 партий. За выигрыш начислялось 3 очка, за ничью 1 очко и за проигрыш ничего не начислялось. Оба игрока в сумме набрали 27 очков. Сколько было ничьих? (Если вариантов несколько, укажите все возможности).
2. На сколько процентов уменьшится вес овоща от высыхания, если при этом содержание воды в нём уменьшается с 99% до 96%?
3. Клочок бумаги согнули и смяли, как показано на рисунке, а потом развернули, отметив линии сгибов; четыре таких линии образовали четыре угла. При этом два соседних угла оказались 57° и 83°. Найдите два остальных угла.
4. Найдите наименьшее целое положительное число n, при котором 9993n оканчивается (в десятичной записи) на 2013.
5. В ящике лежат разноцветные шары: 28 красных, 20 зеленых, 12 желтых, 8 белых, 20 черных, 9 синих. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть, не заглядывая в ящик, чтобы быть уверенным в том, что среди вынутых имеется три шара одного цвета? Тот же вопрос, если нужно вынуть 15 шаров одного цвета.
6. Из всех цифр от 1 до 9 (используя каждую по разу) составьте три трёхзначных числа, произведение которых было бы наименьшим.
7. Какое наибольшее число пешек можно поставить на шахматную доску, если на поле e3 пешку ставить нельзя и никакие две пешки не могут стоять на полях, симметричных относительно поля e3? (Поле e3 — третье снизу поле на пятой слева вертикали доски 8×8.)
8. Раскроем скобки в выражении (a+b+c-d)(p-q-r+s-t)(u-v+w) (получится apu-apv+apw+…). Сколько всего будет слагаемых? перед сколькими из них будет стоять знак «минус»?
9. Брюнеты, составляя 1/3 населения страны (остальные — блондины), выпивают 4/5 всего выпиваемого в стране кефира. Статистики подсчитали, сколько литров кефира в день выпивает средний брюнет (поделив весь выпиваемый ими кефир на их количество), и сколько — средний блондин. Во сколько раз первое число больше второго?
10. Двое пловцов одновременно начали плыть по 25-метровой дорожке бассейна со скоростями 1,3 м/с и 1 м/с, стартовав с одного и того же края бассейна. Доплывая до конца дорожки, каждый из пловцов поворачивает назад. Когда более быстрый пловец впервые после старта сравняется с более медленным (плывя в ту же сторону)? На каком расстоянии от места старта это произойдёт?
11. Отрезок [0,1] разделили на 2100 равных частей. В каком отношении (считая от левого конца) точка 1/3 делит ту часть, в которую попадает?
12. Если написать по кругу цифры 0,0,1,1 (в таком порядке) и обходить круг, то каждая из четырёх комбинаций 00,01,10,11 встретится по одному разу. Напишите по кругу 8 цифр 0 или 1 так, чтобы каждая из восьми комбинаций 000,001,010,011,100,101,110,111 встретилась по одному разу.
13. По кругу написано некоторое количество нулей и единиц. Обойдя круг, подсчитаем, сколько раз встречаются комбинации 000,001,…; получатся числа n000, n001,…,n111. Докажите, что среди этих восьми чисел всегда есть две пары равных.
14. Квадратную доску 4×4 можно замостить доминошками 2×1 разными способами (на рисунке показаны три способа; способы, отличающиеся поворотом, считаются разными). Сколько всего способов?
15. В листе бумаги вырезана квадратная дырка 5×5 (квадрат со стороной 5 см). Может ли пройти через эту дырку фанерный круг диаметра 9 см? (Бумагу можно сгибать и складывать, но нельзя растягивать или рвать.)
16. Можно ли число 2012 представить в виде суммы нескольких целых положительных чисел, произведение которых тоже равно 2012?
17. Восемь фонарей освещают весь каток (каждый освещает какую-то часть катка, эти части могут перекрываться). Докажите, что можно включить три фонаря так, чтобы освещено было не менее 3/8 катка.
18. На доске написаны два числа. За один шаг разрешается заменить одно из чисел их суммой или разностью. Могут ли после нескольких таких операций получиться числа 18 и 24, если вначале были написаны числа 10 и 16?
19. Представьте число 1001 в виде суммы четырёх чисел, в десятичную запись которых входят только цифры 0 и 7.
20. На встрече собрались все участники двух походов (некоторые были в обоих походах, некоторые — только в одном). В первом походе было две трети мальчиков и треть девочек, во втором — поровну тех и других. Какова минимальная и какова максимальная возможная доля мальчиков среди участников встречи?