Дорогой друг!
Приглашаем тебя принять участие в заочном конкурсе по математике и информатике. Участвовать в нём может любой ученик 6-8 класса, решивший по крайней мере пять из предлагаемых 20 задач. Для этого он должен не позднее 20 октября выслать полные решения задач (не только ответы!) обычным письмом (не заказным) по адресу
Москва, 119002, Большой Власьевский пер., дом 11, Московский центр непрерывного математического образования, заочный конкурс, ... класс.
На письме должен быть указан обратный адрес, включая имя и фамилию. В письмо следует вложить два пустых незаклеенных конверта с маркой, написав на них свой адрес (В одном конверте будут посланы результаты проверки и приглашение на разбор. Другой конверт может быть использован для информации о заочном конкурсе, математических кружках, олимпиадах и пр.)
На каждом листе работы просим указывать фамилию, имя, номер школы и класс. В письмо следует вложить заполненную карточку участника.
Справки по всем вопросам, связанным с конкурсом, можно получить по телефону (495) 945-82-16 (попросить соединить с организаторами заочного конкурса), а также по электронной почте: zmk@mccme.ru. (Очень просим Вас НЕ присылать решения по электронной почте.)
На сайте http://www.mccme.ru/ имеется также информация о математических кружках, олимпиадах и пр. Информацию о кружках можно получить также по телефону (499) 241-05-00.
Желаем успеха!
1. Можно ли нарисовать пятиугольник и точку внутри него так, чтобы любая сторона пятиугольника была видна из этой точки под углом в 70°?
2. Известно, что отношение b/a находится между 1.9 и 2.1, а отношение b/c находится между 2.9 и 3.1. Каковы возможные значения отношения c/a?
3. Числа a и b целые, при этом 2a+3b делится на 7. Докажите, что a+5b тоже делится на 7.
4. Не пользуясь калькулятором, найдите квадратный корень из 12345678987654321.
5. Разложите на множители выражение 1+2x+3x2+4x3+5x4+4x5+3x6+2x7+x8.
6. По кругу написано n чисел, при этом каждое равно среднему арифметическому (полусумме) двух своих соседей. Докажите, что все числа равны.
7. Сумма трёх различных чисел (не обязательно целых) равна 10, а разница между наибольшим и наименьшим из них равна 3. Каким может быть среднее по величине число? Укажите все возможные варианты и докажите, что других нет.
8. Можно ли замостить бесконечную плоскость (без пропусков и наложений) одинаковыми плитками, имеющими форму выпуклого пятиугольника? (Выпуклость означает, что все углы меньше 180°.)
9. Можно ли замостить бесконечную плоскость (без пропусков и наложений) выпуклыми семиугольниками? (В отличие от предыдущей задачи не требуется, чтобы все они были одинаковы.)
10. Фигура представляет собой половину круга: с одной стороны она ограничена диаметром, с другой стороны — полуокружностью. На границе фигуры берут две точки: одну на полуокружности, другую на диаметре. Их соединяют отрезком и отмечают середину этого отрезка. Рассматривается множество всех точек, которые можно получить таким образом. Что это за множество? Из каких участков состоит его граница?
11. В выражении (a+b-c)(d+e+f-g)(p-q-r)(s+t+u) раскрыли скобки. Сколько слагаемых после этого получилось? Перед сколькими из них стоит минус?
12. Найдите наименьшее положительное число x, для которого числа 6x/5 и 10x/7 одновременно целые.
13. Верёвку сложили пополам, потом ещё раз пополам, потом снова пополам, а потом разрезали в каком-то месте (сразу все нити и не на сгибе). Сколько кусочков получилось?
14. (Продолжение) Два из этих кусочков имеют длину 9см и 4см. Какова длина верёвки? Укажите все возможные варианты.
15. Какое число (одно и то же) надо прибавить к числителю и знаменателю дроби 11/41, чтобы она превратилась в 3/8?
16. Даны две бутылки с растворами разной концентрации: в одной 0.5 литра, в другой 0.3 литра. Два одинаковых стаканчика налили доверху (каждый из своей бутылки), после чего растворы влили обратно в бутылки, поменяв их местами. В результате в обеих бутылках оказался раствор одинаковой концентрации. Найдите объём стаканчиков.
17. В некоторые клетки прямоугольной таблицы записаны числа, при этом получилось так, что для каждой строки сумма попавших в неё чисел равна 7, а для каждого столбца сумма попавших в него чисел равна 5. Каково наименьшее возможное количество чисел, записанных в таблице? Докажите, что меньшим количеством обойтись нельзя.
18. Таблица умножения чисел от 1 до 10 имеет вид прямоугольника (на пересечении i-ой строки и k-го столбца стоит произведение i·k). Найдите сумму всех чисел этой таблицы.
1 | 2 | 3 | … | 8 | 9 | 10 |
2 | 4 | 6 | … | 16 | 18 | 20 |
3 | 6 | 9 | … | 24 | 27 | 30 |
… | … | … | … | … | … | … |
10 | 20 | 30 | … | 80 | 90 | 100 |
19. В углу квадратной доски размером 100×100 клеток стоит шахматный конь. Какое минимальное количество ходов надо сделать, чтобы конь побывал на всех вертикалях и на всех горизонталях? Докажите, что меньшим числом ходов обойтись нельзя.
20. В углу квадратной доски размером 100×100 клеток стоит шахматная ладья. Какое минимальное количество ходов надо сделать, чтобы ладья побывала на всех вертикалях и на всех горизонталях? (Те вертикали или горизонтали, которые ладья только пересекала, не останавливаясь, не учитываются.) Докажите, что меньшим числом ходов обойтись нельзя.