6. Вода при замерзании увеличивается на 1/11 часть своего объёма. На какую часть своего объёма уменьшится лёд при обратном превращении в воду?
7. Летела стая гусей. На первом озере села 1/2 часть всех гусей и ещё 1/2 часть гуся; на втором - 1/3 часть всех гусей ещё 1/3 гуся; на третьем - 1/4 часть всех гусей и ещё 3/4 гуся; на четвёртом - 1/5 часть гусей и ещё 1/5 часть гуся; на пятом село 19 оставшихся гусей. Сколько гусей было в стае?
8. Чему равна знакопеременная сумма
12-22+32-42+...+9992-10002
(плюсы и минусы чередуются)?
9. Найдите все пары целых чисел a и b, для которых a2-b2=119.
10. Расположите 6 точек на плоскости так, чтобы любые три из них были вершинами равнобедренного треугольника. (В частности, никакие три из них не должны лежать на одной прямой.)
11. Имеются 666 гирь весом 1,2,3,4,...,666 граммов. Можно ли разложить их на три равные по весу кучи? Если можно, то как?
12. Купец продал кафтан за 10 рублей, но у него не оказалось сдачи с 25-рублёвой бумажки, и он разменял её у соседа. Когда покупатель ушёл, пришёл сосед и сказал, что 25-рублёвая бумажка была фальшивая. Купец возместил ему убыток (обменяв бумажку на настоящую). Каков общий убыток самого купца?
13. На плоскости нарисованы две прямые, пересекающиеся под прямым углом. Нарисуйте множество всех точек, для которых расстояния до этих прямых отличаются ровно на 1 см.
14. "Произведение трёх натуральных чисел равно 36, - сказал Петя. - Что это за числа?" Коля, подумав, ответил: "Данных недостаточно." Тогда Петя сообщил сумму этих чисел. "Всё равно данных недостаточно", - подумав, ответил Коля. Чему была равна сумма, сообщённая Петей?
15. Из 80 монет одна фальшивая - более лёгкая. Как с помощью четырёх взвешиваний на обыкновенных чашечных весах без гирь найти фальшивую монету?
16. Нарисуйте на координатной прямой все точки x, для которых из утверждений "x>10", "x>20", "x>30", ..., "x>90", "x>100" чётное число верных.
17. Подряд в строку выписаны 2005 цифр так, что каждое двузначное число, записываемое двумя соседними цифрами (в том порядке, в котором они написаны) делится на 17 или на 23. Последняя цифра - 1. Какова первая?
18. Во вписанном в окружность девятиугольнике провели диагональ. Сколько других диагоналей этого девятиугольника она пересекает? (Укажите все возможные варианты.)
19. В ящике лежат 100 разноцветных шариков: 28 красных, 20 зелёных, 12 жёлтых, 10 белых, 20 чёрных, 10 синих. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть, не заглядывая в ящик, чтобы быть уверенным в том, что среди вынутых имеется 3 шарика одного цвета?
20. (Продолжение) Тот же вопрос для 15 шариков одного цвета.
21. Сколькими способами можно разменять 20 рублей монетами достоинством в 5, 2 и 1 рубль? (Не обязательно использовать монеты всех трёх видов.)
22. Дима и Аня увидели весы и взвесили на них свои рюкзаки. Весы показали 30 и 20 кг. Тогда они поставили на весы оба рюкзака и весы показали 60 кг. "Как же так? - спросила Аня. - Ведь 30+20 не равно 60!" Дима ответил: "Разве ты не видишь, что у весов сдвинута стрелка?" Сколько весили рюкзаки?
23. В вершинах треугольника ABC расположены деревни, в которых живут 10, 20, и 30 школьников. Где надо построить школу, чтобы общее расстояние, проходимое школьниками, было бы наименьшим?
24. Две команды соревновались в 10 видах спорта. В каждом виде за выигрыш начислялось 4 очка, за ничью 2 очка и за проигрыш 1 очко. Обе команды в сумме набрали 46 очков. Сколько было ничьих?
25. Числа написаны в строчку, причём сумма любых трёх стоящих рядом чисел отрицательна, а сумма любых четырёх стоящих рядом чисел положительна. При каком наибольшем количестве чисел такое возможно? (Приведите пример и докажите, что при большем количестве чисел это невозможно.)