В. А. Клепцын планирует провести 3 занятия.
Действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональными. А насколько хорошим может быть такое приближение — в сравнении с его сложностью? Например, оборвав десятичную запись числа $x$ на $k$-й цифре после запятой, мы получим приближение $x\approx a/10^k$ с ошибкой порядка $1/10^k$. И вообще, зафиксировав знаменатель $q$ у приближающей дроби, мы точно можем получить приближение с ошибкой порядка $1/q$ (точно не больше $1/2q$, и в среднем $1/4q$). А можно ли сделать лучше?
Знакомое всем приближение $\pi\approx 22/7$ даёт ошибку порядка $1/1000$ — то есть явно сильно лучше, чем можно было бы ожидать. А почему? Повезло ли нам, что у $\pi$ такое приближение есть? Оказывается, что для любого иррационального числа есть бесконечно много дробей $p/q$, приближающих его лучше, чем $1/q^2$. Это утверждает теорема Дирихле — и мы начнём курс с её немного нестандартного доказательства.
А именно, мы посмотрим на ряды Фарея — выписанные по возрастанию несократимые дроби со знаменателем, не превосходящим данного числа. Оказывается, что они удовлетворяют нескольким совершенно удивительным свойствам: например, каждое из них это «сумма двоечника» (числитель с числителем, знаменатель со знаменателем) своих соседей. Из свойств рядов Фарея мы и выведем теорему Дирихле.