Никон Михайлович Курносов и
Артём Алексеевич Авилов

В этом курсе мы рассмотрим красивую математическую задачу, которой математики занимались ещё в Древней Греции и Древней Индии — решение уравнения вида: $$ x^2 - q\cdot y^2 = \pm 1, $$
где $q$ — натуральное число, не являющееся квадратом. Уравнения такого типа называются уравнениями Пелля.

При больших значениях $x$ и $y$, удовлетворяющих этому уравнению, их отношение даёт нам хорошее приближение для $\sqrt q$.

Мы увидим, как это уравнение связано с разными сюжетами алгебры и теории чисел, в частности, цепными дробями и теоремой Дирихле о единицах.

1. Диофантовы уравнения: линейные уравнения, пифагоровы тройки, уравнение Пелля.
2. Цепные дроби. Существование решения уравнения Пелля.
3. Числовые поля и кольца целых элементов. Единицы и классы идеалов.
4. Теорема Дирихле о единицах и уравнение Пелля.

Для понимания курса будет достаточно хорошего владения школьным курсом алгебры, никаких специальных знаний, выходящих за рамки школьной программы, не требуется. Все понятия мы введём и определим по ходу курса.

Материалы

• записки лекции 1
• записки лекции 2
• листок 1
• листок 2
• листок 3