Олег Рустамович Мусин

Пусть задан треугольник, вершины которого помечены цифрами 0, 1 и 2, и его триангуляция. Знаменитая лемма Шпернера в двумерном случае утверждает, что если вершины триангуляции пометили теми же значениями (0, 1, 2) так, чтобы любая вершина на стороне исходного треугольника была бы помечена одной из меток вершин этой стороны, то обязательно существует треугольник разбиения, помеченный цифрами 0, 1, 2.

Доказанная в 1928 году лемма Шпернера давно уже является предметом обсуждения на математических кружках и источником олимпиадных задач. Между тем, она является комбинаторным аналогом теоремы Брауэра о неподвижной точке и у нее большое число приложений. В частности, эта лемма и ее обобщения играют важную роль в теории игр и из нее выводится уравнение равновесия Нэша.

В лекциях будет дано достаточно элементарное изложение постановок задач и доказательств. Я разберу отдельно начальные понятия топологии, которые понадобятся во второй половине курса.

Программа курса

1. Лемма Шпернера и ее доказательство методом “комнат и дверей”. Другие доказательства леммы.
2. Леммы Таккера, Ки Фана и Ю. А. Шашкина.
3. Лемма Кнастера–Куратовского–Мазуркевича (ККМ).
4. Лемма Шпернера для многоугольников и многогранников.
5. Обобщения леммы Шпернера и степень отображения.
6. Доказательство М. А. Красносельского теоремы Хелли.
7. Как используя лемму Шпернера справедливо разрезать торт и справедливо распределить n комнат в квартире между n жильцами?
8. Непрерывные отображения. Теорема Брауэра о неподвижной точке.
9. Теорема Борсука–Улама.
10. Понятие о применении лемм типа Шпернера в математической экономике и теории игр.

Материалы

• слайды