Иван Вадимович Лосев

Одна из наиболее фундаментальных задач современной алгебры — описание конечных групп. Это совершенно дикая задача. То, что было сделано стараниями многих математиков, это классификация конечных простых групп, которые можно представлять себе, как базовые блоки общих конечных групп.

Эта классификация очень сложна и исключительно объемна, так что мы рассмотрим только один из самых первых, но уже нетривиальный, результат в этом направлении, теорему Бернсайда. Она утверждает, что простая группа не может состоять из pⁿq^m элементов, где p и q простые.

Самое простое и элегантное доказательство этой теоремы основано на теории представлений и, кроме того, использует алгебраические числа. Это доказательство представляет собой прекрасную иллюстрацию того, как теория представлений может использоваться для получения результатов о структуре групп, даже если эти результаты, на первый взгляд, никакого отношения к представлениям не имеют.

Предварительный план

1. Основы теории представлений (теорема Машке, лемма Шура, характеры и их ортогональность).
2. Доказательство теоремы Бернсайда, с необходимыми сведениями об алгебраических числах.

Пререквизиты

Линейная алгебра (векторные пространства, базисы, линейные отображения, собственные значения и собственные векторы) и основные сведения о группах (подгруппы, фактор-группы, действия, классы сопряженности) и кольцах. Предварительных знаний о теории представлений групп не предполагается.

Материалы

• записки
• задачи (исправлена задача 4!)