Текстовые задачи: приложения или умственные манипулятивы[1]

Андрей Леонович Тоом

Так же, как Жерофски (1996), Томас (1997) и Бут (1998), печатавшиеся сравнительно недавно в этом журнале, я очень интересуюсь текстовыми задачами и хотел бы кое-что сказать об этом. На школьном уровне многие нетекстовые задачи — лишь технические упражнения, необходимые, но не слишком интересные. Многие интересные и нестандартные задачи существуют в форме текстовых задач. Это не значит, что все текстовые задачи сложны, но все они требуют некоторого понимания естественного языка и способности переводить один в другой разные виды представления: слова, символы, образы. Это сходно с основной мыслью Томаса, хотя я не вполне согласен с его подходом к решению уравнений.

В России, где я вырос, текстовые задачи десятилетиями использовались на всех уровнях сложности, с различными целями — от распространения математической грамотности до «озадачивания» наиболее одаренных детей. Если вы откроете любую русскую книжку для младшей, средней или высшей школы, любой занимательный или олимпиадный сборник, вы обнаружите множество текстовых задач. Например, знаменитая книга Перельмана «Занимательная алгебра» содержит много превосходных задач, в том числе такую:

Артель косарей должна была скосить два луга, один в два раза больше другого. Полдня артель косила больший луг. Затем артель разделилась. Половина работников осталась на большем лугу и закончила его к вечеру. Другая половина работала на меньшем лугу, но в этот день работу не закончила. Остаток скосил один работник на следующий день. Сколько было косарей? (1976, с. 39).

Этой задаче больше ста лет. Известно, что Лев Толстой, весьма интересовавшийся вопросами народного просвещения, очень любил ее, потому что она решается визуально, без применения алгебры [2]:

Здесь я хочу обратиться к следующему важному вопросу, заданному Жерофски: «Все это подводит меня к вопросу, на который у меня еще нет ответа, вопросу о целях текстовых задач как жанра» (с. 41). Хотя русские учителя издавна используют текстовые задачи весьма продуктивно, они, насколько мне известно, никогда не пытались рационально объяснить, почему же текстовые задачи так полезны, потому что никому из них не приходило в голову в этом усомниться. Они руководствовались и продолжают руководствоваться традицией, опытом, интуицией и эстетическими критериями — и все это не стоит сбрасывать со счетов. Однако я согласен с Жерофски, что в настоящей ситуации надо обсудить, каковы же цели текстовых задач. Она замечает:

«Утверждение, что текстовые задачи дают практику в решении проблем реальной жизни, малоубедительно, поскольку истории эти гипотетичны, практической ценности не представляют и, в отличие от реальных ситуаций, дополнительную информацию привлечь нельзя. Тем не менее, они имеют долгую и непрерывную традицию в математическом образовании, и эта традиция значима» (с. 41).

Я убежден, что на ее вопрос нет единственного ответа: как многие другие культурные явления (басни, например), текстовые задачи имеют несколько целей. Здесь я сосредоточусь на двух и сравню их между собой: текстовые задачи как прикладные и как умственные манипулятивы.

Текстовые задачи как прикладные

В этом случае задача дает приложение математики к некой ситуации, возможной в повседневной жизни. Вот, например: «В магазине продаются апельсины по восемь штук за доллар. Покупатель хочет взять семь. Сколько он должен заплатить?» Эта задача основана на реальном случае из моей жизни. Я покупал продукты в магазине, где восемь апельсинов продавались за один доллар. Я положил (как мне казалось) восемь апельсинов в пакет и пошел к кассирше, которая сосчитала апельсины и сказала, что их только семь. Я попросил ее назвать их стоимость. Она схватилась за калькулятор, но не знала, что считать. Она позвала своего начальника с калькулятором побольше, но он тоже не мог сосчитать. Он пересчитал апельсины, обнаружил, что их восемь, тем дело и кончилось.

Я знаю, что истории о математической безграмотности молодежи рассказывают во множестве. Вопрос в том, что из этого следует? Некоторые образователи предлагают увеличить внимание к «задачам из реального мира», возможно, напоминающим вышеприведенную. Я утверждаю, что «задачи из реального мира» не могут составлять единственную или даже основную часть задач, используемых в классе, и могу привести два резона этому.

Один в том, что изучение математики должно быть систематическим: если какая-то тема вообще изучается, то в результате нужно научиться решать все задачи в пределах определенных рамок сложности, и понятно, что они в большинстве своем не будут иметь ничего общего с реальной жизнью. Другой резон, по моему мнению, еще более важный, будет приведен ниже.

Текстовые задачи как умственные манипулятивы

Эти задачи имеют дело с воображаемыми ситуациями, которым необязательно встречаться в повседневной жизни. Числовые данные необязательно брать из действительности. То, что требуется узнать, необязательно неизвестно или нужно в действительности, а то, что дано, не всегда доступно в повседневной жизни. Внутренняя последовательность или интересная математическая структура важнее, чем соотнесенность или значимость в реальности. Цель этих задач — ввести детей в основы математики — такие, как теория чисел, теория графов или комбинаторика, но избежать при этом сложностей профессиональной терминологии.

Конечно, эти две функции текстовых задач не исключают одна другой. Многие задачи, используемые в школах и входящие в сборники, являются смесью этих типов. Однако, многие из лучших и наиболее педагогически полезных задач явно принадлежат ко второму типу: они не из «реального мира». Их цель — передать математическую идею, то есть использовать подходящие конкретные объекты для представления или овеществления абстрактных математических понятий. Подобно животным в баснях, «реальные объекты» в этих задачах не следует понимать буквально. Это аллегории, умственные манипулятивы или овеществления, прокладывающие детям дорогу к абстракциям.

Например, монеты, орехи и пуговицы легко отделить друг от друга и сосчитать, и поэтому они удобны для представления отношений между целыми числами. Самым младшим детям нужны реальные предметы, которые можно потрогать, более старшие могут их себе представить — это уже следующий шаг в интеллектуальном развитии. Вот почему задачи с монетами так хороши для начальной школы. Насосы и другие механические устройства легко вообразить работающими в постоянном режиме. Задачи на производительность и скорость должны быть (и в России вляются) обычными уже в средней школе. Поезда, автомобили и корабли так широко представлены в задачниках не потому, что все ученики собираются заниматься транспортным бизнесом, но по иной, гораздо более здравой, причине: эти объекты легко представить себе движущимися с постоянной скоростью, и поэтому они подходят для овеществления представления о постоянном движении, что, в свою очередь, может служить овеществлением линейной функции. Таким образом, мы можем вести детей все дальше и дальше по пути деконкретизации, то есть — развивать абстрактное мышление.

Давайте не забудем, что формальное и абстрактное мышление, необходимое, чтобы преуспеть в современном цивилизованном технологическом обществе, не является автоматическим результатом физиологического созревания или социальной адаптации. Дети не научаются мыслить формально или абстрактно так же естественно, как они научаются бегать, прыгать или говорить.

Умение решать школьные задачи само по себе не есть, конечно, результат. В школе ученики получают начатки научной информации и научного мышления. Невозможно было бы создавать, проверять и использовать научную информацию, если бы каждое отдельное рассуждение нужно было бы сравнивать с реальностью или с доступной информацией о реальности (Тульвисте, 1991, с. 122).

Такие наблюдения (и сходные, приведенные Бутом (1998) в его статье в данном журнале) заставляют меня думать, что обучение решению задач из «нереального мира», в которых следует воспринимать данные как абстрактные гипотезы, а не утверждения о реальности, и делать выводы из этих данных, очень важно для формирования способности к формальному рассуждению.

Необходимость прилагать сознательные и организованные усилия к развитию у детей абстрактного мышления особенно очевидна в такой стране, как Россия, где исторически многие люди были необразованными. Например, в начале этого столетия множество россиян были неграмотными, и я уверен, что теоретические воззрения Выготского следует рассматривать в связи с мощным движением к народному образованию, имевшим место в России в конце девятнадцатого и начале двадцатого веков. Этот просветительский пафос можно ощутить и в работах Перельмана, опубликовавшего несколько замечательных популяризаций математики, включая «Занимательную алгебру».

Когда я приехал в США девять лет назад и начал преподавать, я обнаружил, что многие университетские студенты очень плохо справляются с решением текстовых задач. Когда я стал читать американскую образовательную литературу, я обнаружил странный (для меня) подход к текстовым задачам, совершенно отличный от того, к какому я привык в России. Похоже, что многие считают, что задачи, решаемые на уроках математики, должны быть как можно ближе к повседневной жизни. Я полагаю, что этот подход берет свое начало у известного американского психолога и преподавателя Эдварда Торндайка, в чьей авторитетной книге «Психология алгебры» имеется глава, названная «Нереальные и бесполезные задачи», начинающаяся так: «В предыдущей главе было показано, что около половины задач, дающихся в стандартных курсах, ненастоящие, поскольку в реальной жизни ответ никогда не понадобится. Очевидно, не стоит, разве что для объема, таким образом соединять алгебраическую работу с никчемностью». (1926, с. 258).

Хотя Торндайк старался придерживаться строго научного подхода, такие слова, как «настоящий» с одной стороны и «нереальный и бесполезный» с другой — имеют сильный оценочный оттенок, как те, что используются (верно или неверно) в политической пропаганде. Давайте применим подход Торндайка к задаче Льва Толстого, приведенной в начале. Разве могут несколько человек, косящих луг, не знать, сколько их всего? Конечно, нет. Таким образом, по критерию Торндайка, задача нереальна и бесполезна и, если дать ее детям, вызовет ощущение никчемности. Однако, уверяю вас, это не так.

Существует важное сходство между детской игрой и математикой: в обоих случаях исключительно важно творческое воображение. Идея не нова. Например, Мартин Гарднер (1959) писал: «Возможно, даже за чистой математикой скрывается потребность в игре». Однако, многие, похоже, следуют больше Торндайку, чем Гарднеру. Например, в статье Залмана Усыскина (1995), перепечатанной в журнале «Учитель математики» на 75-ю годовщину Национального Совета Учителей Математики США, говорится: «Алгебра имеет так много приложений, что дутые традиционные больше задачи не нужны» (с. 159). Объяснение, как мне кажется, в том, что существует и действует странная, но широко распространенная теория, которую я бы назвал теорией не-переноса. Согласно этой теории, дети не могут переносить умения и знания из класса в жизнь за пределами школы и, поскольку целью образования вляется просто лучшее приспособление к этой самой жизни, занятия должны быть заполнены задачами, которые люди решают в повседневной жизни. К тому же, детей никак не может интересовать то, что не связано с повседневностью.

Вот всего один пример. Такая задача может использоваться чуть ли не повсюду на земном шаре без всяких ограничений: Салли на пять лет старше своего брата Билла. Через четыре года она будет в два раза старше, чем тогда будет Биллу. Сколько лет Салли сейчас? Но она объявляется негодной по следующей причине: «Прежде всего, кто бы мог задать подобный вопрос? Кому это может понадобиться? Если Билл и Салли сами не знают, это какая-то семья идиотов.» (Смит, 1994, с. 85).

Как пример противоположного, гораздо более продуктивного подхода, позвольте мне снова процитировать Перельмана. Вторая часть его книги, называемая «Язык алгебры», состоит из 25 разделов, каждый из которых посвящен определенной обучающей задаче. Один из них, «Уравнение думает за нас», начинается так: «Если вы не верите, что уравнение иногда гораздо благоразумнее нас, решите следующую задачу:

Отцу 32 года, сыну 5. Через сколько лет возраст отца в десять раз превзойдет возраст сына?»

Уравнение составлено и решено, но результат отрицательный: √2, что же это значит? Перельман объясняет: «Когда мы составляли уравнение, мы не думали, что возраст отца никогда не будет в десять раз больше возраста сына в будущем, — такое соотношение могло иметь место только в прошлом. Уравнение оказалось более думающим и напомнило нам о нашем упущении».

Я считаю, что этот комментарий по-настоящему поучителен: сказку стоит рассказать ради морали, и для меня это весомая причина для такого обсуждения.

Представьте, что какие-то воображаемые учителя литературы в некой стране профессионально обучены так, что считают бесполезными все сказки, басни и фантастические рассказы. Когда им рассказывают басню, где животные разговаривают друг с другом, они не могут ее уразуметь и получить нормальное удовольствие, как это делают дети, но мучают свое воображение, пытаясь представить, как такое могло случиться в реальной жизни: или животных специально учили говорить? Или им сделали какую-то операцию? Или это переодетые люди? И так далее.

Я, конечно, не имею в виду, что все дети должны интересоваться или интересуются неуклюжими или неестественными сюжетами. Я не призываю использовать случайные или хаотичные задачи. Напротив, я считаю, что задачи должны быть математическими проблемами, представленными в доступной для детей форме, и их качество зависит в первую очередь от качества их внутренней математической структуры, а также от их изящества и доступности. Это значит, что они не должны быть перегружены незначащими или случайными деталями.

Хорошая задача должна быть эстетически притягательна как предмет искусства. Возьмем басню Эзопа «Ворона и лисица». С одной стороны, она пользуется образами, известными каждому ребенку, с другой — в ней нет незначащих деталей. Однако, с упомянутой выше странной точки зрения, эта басня может быть полезна только тем, у кого есть шанс в некоем уже предусмотренном будущем взгромоздиться на ветку с куском сыра во рту. [3]

Мы имеем здесь дело с одним из главнейших законов культуры: человеческая культура никогда не отражает реальность один к одному. Она сгущает, упрощает, идеализирует. Географические карты не могут и не должны быть равны тому ландшафту, который они представляют. Создания человеческого ума подчинены суровому закону экономии: избытка следует избегать, каждая деталь должна служить своей цели.

Хорошая задача обладает всеми теми же свойствами, которые генерал Чак Йагер (первый, кто летал быстрее звука) приписал хорошему самолетному двигателю: «простой, частей немного, легко управлять, очень сильный» (цитировано у Бентли, 1989, с. 6). Многие из так называемых задач «реального мира» запутаны и небрежны. Реальный мир полон хлама, излишеств, нелепости и скуки, всего того, чего следует избегать на уроках математики.

1. Jon Bentley. Programming Pearls. Addison-Wesley, 1989.

2. Susan Gerofsky. A Linguistic and Narrative View of Word Problems in Mathematical Education. For the Learning of Mathematics, 16, 2 (June 1996), pp. 36-45.

3. Robert Thomas, Susan Gerofsky. An Exchange about Word Problems. For the Learning of Mathematics, 17, 2 (June 1997), pp. 21-23.

4. Я.И. Перельман. Занимательная алгебра. М.: Наука, 1976.

5. Peeter Tulviste. The Cultural-Historical Development of Verbal Thinking. Translated by Marie Jaroszewska Hal. Nova Science Publishers, 1991.

6. Edward L. Thorndike a.o. The psychology of algebra. The Macmillan Company, New York, 1926.

7. Martin Gardner. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions. Simon and Schuster, New York, 1959.

8. Zalman Usiskin. What Should Not Be in the Algebra and Geometry Curricula of Average College-Bound Students? Mathematics Teacher, v. 88, n. 2, February 1995, pp. 156-164.

9. Michael K. Smith. Humble Pi. Prometeus Books, 1994.

[1] Приводим толкование термина, принадлежащее автору статьи. Манипулятив — это любой физический предмет, используемый при обучении математике для овеществления каких-либо абстракций. Всем известный пример — счетные палочки. В настоящее время в Америке очень модно всячески преувеличивать значение манипулятивов. Конечно, они необходимы маленьким детям, но по мере их взросления становятся нужны все меньше. Вместо буквальных, ощутимых манипулятивов становятся нужны воображаемые, умственные манипулятивы, ради которых, собственно, и написана эта статья. Когда в старших классах ученики рассуждают о том, сколькими способами комиссия из десяти человек может выбрать председателя, секретаря и казначея, то это не приложение комбинаторики к организационной работе; это комбинаторика, а комиссия и т.д. — умственный манипулятив.

Потребность в умственных манипулятивах никогда не кончается, она присуща и профессиональным математикам на самом высоком уровне. Вот пример — рассказ Роланда Львовича Добрушина в интервью, данном им Евгению Борисовичу Дынкину: «Ну вот, я помню задачу, на которой я понял, что такое теория вероятности. Это была задача, которая была сформулирована для нас, слово «вероятность» не знавших. Это задача такая: есть N резервуаров, из каждого из них какая-то доля воды переливается в другой резервуар, и надо доказать, что количество воды в данном резервуаре стремится к пределу. Честно говоря, я думаю, что для меня до сих пор так вероятность и осталась водой, жидкостью, которая переливается из одного сосуда в другой. Так себе и мыслю случайный процесс. (Роланд Львович Добрушин. К 70-летию со дня рождения. Москва, 1999, с.9.)

[2] «Визуальное решение» может быть таким. Один прямоугольник, изображает у нас больший луг и второй прямоугольник, площадь которого в 2 раза меньше площади первого, — меньший луг. Вся бригада за полдня скосила в 2 раза больше, чем половина бригады за то же время, т.е. 2/3 большего луга скосила вся бригада за полдня, следовательно, за день она скосила 4/3 большого луга (весь большой луг и 1/3 меньшего), а один косец за день скосил 1/2–1/3=1/6 большего луга. 4/3 больше 1/6 в 8 раз, следовательно, в артели 8 косцов.

[3] Здесь можно добавить еще один комментарий. Он относится к цели использования текстовых задач. У нас в России тоже были и есть специалисты, видящие цели использования задач достаточно узко: только в применении результатов на практике. Здесь очень уместен вопрос: так ли глупы были китайцы, дававшие во II в. задачу такого содержания.

Вдумаемся! Средства связи того времени не позволяли ни осуществить одновременный старт, ни проконтролировать момент встречи! Так почему китайцы давали решать во II в. своим детям такие задачи? Может быть, их интересовало не непосредственное приложение полученного результата (да еще дробного!), а нечто иное — результат, оставляемый процессом мышления в голове ребенка? Не случайно же именно китайцы изобрели порох и бумагу. Впрочем, пример с басней Эзопа кажется мне еще убедительней!

А.В. Шевкин