Арнольд Владимир Игоревич
"Жесткие" и "мягкие" математические модели

6. Статистика первых цифр степеней двойки и передел мира

Первая цифра числа 2ⁿ бывает единицей примерно в 6 раз чаще, чем девяткой. Так же распределены первые цифры населения и площади стран мира. (Я предполагаю, что и первые цифры, скажем, численностей или капиталов компаний подчиняются тому же распределению, но не располагаю нужными для проверки данными).

Предлагаемое ниже объяснение превращается в теорему при фиксации простейшей жесткой модели (такие теоремы можно, по-видимому, доказать и для широкого класса других жестких моделей, так что вся теория, видимо, оправдывается и при мягком моделировании).

Последовательность первых цифр первых чисел 2ⁿ (n = 0, 1, 2,...):

Этот результат следует из теоремы Г. Вейля (доказанной около ста лет назад), согласно которой последовательность дробных долей {nx} чисел nx, где x иррационально, равномерно распределена на отрезке от 0 до 1. (Дробная доля числа a -- это разность {a} = a - [a] между a и наибольшим целым числом [a], не превосходящим a).

Рис. 12. К теореме Вейля.

Теорема Вейля означает, что если точка прыгает по окружности длины 1 шагами, несоизмеримыми с ее длиной (рис. 12), то доля времени, проводимого прыгающей точкой в каждой дуге, пропорциональна длине дуги (и не зависит от расположения дуги на окружности).

Первая цифра i числа определяется тем, в какой из отрезков между точками lg i и lg(i + 1) попадает дробная часть (мантисса) его логарифма (здесь и далее логарифмы десятичные).

Поскольку lg2ⁿ=nlg2, а число x= lg2 иррационально, теорема Вейля доставляет равномерное распределение точек {lg2ⁿ} на отрезке от 0 до 1. Следовательно, доля чисел 2ⁿ, имеющих первой цифрой десятичного разложения i, составляет длину p_i отрезка от lg i до lg(i + 1). Мы получаем таким образом следующую статистику первых цифр чисел 2ⁿ (в процентах):

Например, доля единиц составляет p₁=lg2» 0,30103..., что примерно в 6 раз больше доли девяток.

Такое же распределение имеют первые цифры членов любой геометрической прогрессии (например, 3ⁿ). Исключение составляют, конечно, прогрессии 10ⁿ, ()ⁿ, и вообще прогрессии со знаменателями 10^p/q, где p и q целые.

Лет двадцать назад Н.Н. Константинов обратил мое внимание на то, что первые цифры населения стран мира подчиняются тому же странному распределению: единиц примерно вшестеро больше, чем девяток. Вот мое тогдашнее объяснение этого явления. Рассмотрим последовательность, образованную численностями населения фиксированной страны в последовательные годы. Согласно теории Мальтуса, эти числа образуют геометрическую прогрессию. Согласно теореме Вейля, первые цифры распределены так же как первые цифры степеней двойки. Перейдем теперь к статистике населения разных стран в один и тот же год. Согласно "эргодическому принципу" временные средние можно заметить пространственными: статистика первых цифр должна оказаться такой же, как для одной страны.

(Эргодический принцип -- то же самое соображение, согласно которому для исследования эволюции дерева в лесу нет необходимости ждать, когда оно вырастет из семени и умрет, а можно просто посмотреть на деревья разных возрастов. Здесь мы применили этот принцип в обратную сторону, вычисляя статистику по странам на основании знаний об эволюции одной страны.)

Для контроля я сравнил числа страниц в книгах на полке в моей библиотеке, длины рек и высоты гор. Во всех этих случаях доли единиц и доли девяток среди первых цифр полученных чисел оказались близкими. Книги, горы и реки не растут в геометрической прогрессии, теория Мальтуса к ним неприменима. Поэтому различие статистик первых цифр в числах, выражающих численности населения и, скажем, длины рек, служат своеобразным подтверждением формулы Мальтуса (согласно которой население либо растет в геометрической прогрессии, либо убывает, как мы это сейчас наблюдаем в России).

Однако лет десять назад М.Б. Севрюк обнаружил, что не только население, но и площади стран мира подчиняются такому же странному закону распределения первых цифр, как степени двойки¹. К площадям теория Мальтуса, по-видимому, неприменима, так что возникает вопрос -- как объяснить это поведение площадей:

Оказывается, целый ряд моделей передела мира приводит именно к такому распределению. Простейшая модель (для которой установление указанного распределения -- теорема) такова: за единицу времени страна с вероятностью 50% делится пополам, а с вероятностью 50% объединяется с другой страной такой же площади.

Эта жесткая модель допускает точное математическое исследование, показывающее, что доля времени, в течение которого первая цифра площади страны будет единицей (соответственно, i) составляет lg2»0,3... (соответственно, lg(i+1)-lg i).

Компьютерные эксперименты (проведенные М. В. Хесиной в Торонто и Ф. Аикарди в Триесте летом 1997 года) показывают, что такое же распределение устанавливается в большом числе других моделей. Например, можно предположить, что за единицу времени любая из стран (с площадями x_k и x_l) с вероятностью 1/2 объединяется со случайно выбранной другой (образуя страну площади x_k+x_l), а с вероятностью половина делится на две равные части.

Начиная с сотни стран площадей, скажем, x_k=k, можно уже через сотню шагов получить хорошее приближение к нашему стандартному распределению.

Деление на равные части можно заменить делением на части площадей px_k и (1-p)x_k (Квебек, Украина,...), вероятности объединения и деления можно сделать различными -- результаты численного эксперимента малочувствительны к этим изменениям модели. Можно даже ввести в рассмотрение географическое положение стран, разрешив объединение лишь с соседями (пренебрегая существованием в свое время Восточной Пруссии, а ныне -- Калининградской области). Численные эксперименты приводят к тому же распределению (будем ли мы моделировать географию земного шара окружностью, или сферой, отрезком или прямоугольником).

Таким образом, наше распределение является, по-видимому, свойством мягкой модели, но доказательство того, что оно устанавливается в ее конкретных реализациях в виде жестких моделей -- трудная и далеко не решенная математическая задача.

Математика, подобно физике, -- экспериментальная наука, отличающаяся от физики лишь тем, что в математике эксперименты очень дешевы. Видимо, именно поэтому бюджет отделения математики в РАН в сорок раз меньше бюджета физических отделений (а, следовательно, производительность наших математиков в соответствующее число раз выше).

¹Это распределение может показаться менее странным, если заметить, что это -- единственное распределение, не зависящее от того, в каких единицах распределяются площади (будь то квадратные километры, квадратные мили, квадратные футы, квадратные дюймы и т. д.)

Следующий раздел