Книга для учителя МЦНМО 2003


 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 1. Степень с натуральным, целым, рациональным показателем
Продолжение


1.3.D09

а) Упростите выражение
ж
и
Ц
 
x+52
 
 +
Ц
 
x-20
 
 ц
ш 		ж
и 		 3

Ц
x-20
 +
Ц
x-17
 +
+		  3

Ц
x-17
 +
Ц
x-14
 +ј+  3

Ц
x+49
 +
Ц
x+52
 ц
ш 		.

Решение. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на выражение, сопряженное знаменателю:
 3

Ц
x-20
 +
Ц
x-17
 +  3

Ц
x-17
 +
Ц
x-14
 +ј+  3

Ц
x+49
 +
Ц
x+52
 =3 ж
и

Ц
x-17
 -
Ц
x-20
x-17-(x-20)
 +

Ц
x-14
 -
Ц
x-17
x-14-(x-17)
 +ј+

Ц
x+52
 -
Ц
x+49
x+52-(x+49)
 ц
ш 		=3 ж
и

Ц
x-19
 -
Ц
x-20
3
 +

Ц
x-18
 -
Ц
x-19
3
 +ј+

Ц
x+52
 -
Ц
x+51
3
 ц
ш 		=
Ц
 
x-19
 
 -
Ц
 
x-20
 
 +
Ц
 
x-18
 
 -
Ц
 
x-19
 
 +ј+
Ц
 
x+52
 
 -
Ц
 
x+51
 
 =
Ц
 
x+52
 
 -
Ц
 
x-20
 

.

Следовательно, 
ж
и
Ц
 
x+52
 
 +
Ц
 
x-20
 
 ц
ш 		ж
и
Ц
 
x+52
 
 -
Ц
 
x-20
 
 ц
ш 		=x+52-(x-20)=72

.

Ответ:

72.

Ряд примеров на преобразование выражений может потребовать некоторых формул, изучавшихся на предыдущей ступени образования. Так, при решении заданий 1.1.A02, 1.1.B06 и 1.3.D02 учащийся может пользоваться формулами суммы арифметической или геометрической прогрессий (они приводятся в справочных материалах), но может решать задачу и не используя эти формулы. Часть упражнений первой главы связана с вычислениями значений выражений, содержащих корни квадратного уравнения (при этом сами корни находить не требуется). Решение таких упражнений требует применения формул Виета. При этом данное выражение (или тождественное ему выражение, полученное из данного после выполнения некоторых преобразований: приведения дробей к общему знаменателю, сокращения дробей, разложения на множители и т.п.) следует записать как выражение от суммы корней данного квадратного уравнения и их произведения. При повторении теоремы Виета целесообразно обратить внимание учащихся на следующие формулы и преобразования:
x1 2 + x2 2 = (x1 + x2 )2 - 2x1 x2;    | x1 - x2 | =
Ц
 
(x1 + x2)2 - 4x1x2
 
 ;

x13 + x2 3 = (x1 + x2 ) ж
и 		x12 + x22 - x1 x2 ц
ш 		=

=(x1 + x2 ) ж
и 		(x1 + x2)2 - 3x1 x2 ц
ш 		= (x1 + x2 )3 - 3x1 x2 (x1 + x2 )

(здесь x1 и x2 – корни некоторого квадратного уравнения). Заметим, что для решения задач уровней А и В достаточно одной первой формулы, а вторая и третья формулы требуются только для решения задач уровня С. Примеры на вычисление, связанные с теоремой Виета, подбирались так, чтобы квадратные трехчлены, рассматриваемые в них, имели корни. Тем не менее, следует обратить внимание учащихся на то, что при решении подобных задач (например, на вступительном экзамене в вуз) необходимо, вообще говоря, проверить выполнение условия существования действительных корней, сравнив с нулем дискриминант уравнения. Отсутствие же такой проверки в тексте работы выпускного экзамена не должно служить основанием для снижения оценки. Рассмотрим решения упражнений 1.1.A06 а), 1.1.B03 б), 1.1.B12 б), 1.1.C06 а), 1.1.C07 б), 1.1.C12 б).


1.1.A06

а) Пусть u и v — корни квадратного уравнения 5x2+2x-4=0. Не вычисляя u и v, найдите значение выражения 
 5-2u
u
 +  5+4v
v

.

Решение. Найдем дискриминант D данного уравнения: D=22-4·5·(-4)=84.

Дискриминант положителен. Уравнение имеет два корня. По теореме Виета 
u+v=-  2
5

; 
uv=-  4
5

.

Выразим 
 5-2u
u
 +  5+4v
v

через u+v и uv. Получим 
 5-2u
u
 +  5+4v
v
 =  5(u+v)
uv
 +2

.

Найдем значение выражения:
 5-2u
u
 +  5+4v
v
 =
5· ж
и 		-  2
5
 ц
ш
-  4
5
 +2=  9
2

Ответ:


 9
2

.


1.1.B03

б) Пусть u и v — корни квадратного уравнения 
3x2-4x-
Ц
 
10
 
 =0

. Не вычисляя u и v, найдите значение выражения 
 u3v2-u2v3
u2-v2

.

Решение. Найдем дискриминант D данного уравнения:
D=(-4)2-4·3· ж
и 		-
Ц
 
10
 
 ц
ш 		=16+12
Ц
 
10
 

.

Дискриминант положителен. Уравнение имеет два корня. Выразим 
 u3v2-u2v3
u2-v2

через u+v и uv:
 u3v2-u2v3
u2-v2
 =  u2v2(u-v)
(u-v)(u+v)
 =  (uv)2
u+v

.

По теореме Виета 
u+v=  4
3

; 
uv=-

Ц
10
3

.

Следовательно, 
 u3v2-u2v3
u2-v2
 =  5
6

.

Ответ:


 5
6

.


1.1.B12

б) Пусть u и v — корни квадратного уравнения x2+6x+2Ц6=0. Не вычисляя u и v, найдите значение выражения 
 u
v
 +  v
u
 +4

.

Решение. Найдем дискриминант D данного уравнения: D=62-4·2Ц6=36-8Ц6.

Дискриминант положителен. Уравнение имеет два корня.

Выразим 
 u
v
 +  v
u

через u+v и uv: 
 u
v
 +  v
u
 =  u2+v2
uv
 =  u2+2uv+v2-2uv
uv
 =  (u+v)2
uv
 -2

.

По теореме Виета u+v=-6; uv=2Ц6.

Следовательно, 
 u
v
 +  v
u
 +4=  (u+v)2
uv
 +2=  18
Ц6
 +2=3Ц6+2

.

Ответ:

3Ц6+2.

1.1.C06

а) Пусть u и v — корни квадратного уравнения 2x2+5x+1=0. Не вычисляя u и v, найдите значение выражения |u-v|.

Решение. Дискриминант данного уравнения равен 17.

Дискриминант положителен. Уравнение имет два корня. По теореме Виета 
u+v=-  5
2

; 
uv=  1
2

.

Выразим (u-v)2 через u+v и uv: (u-v)2=u2-2uv+v2=u2+2uv+v2-4uv=(u+v)2-4uv.

Тогда 
(u-v)2=  25
4
 -4·  1
2
 =  17
4

. Следовательно, 
|u-v|=

Ц
17
2

.

Ответ:



Ц
17
2

.


1.1.C07

б) Пусть u и v — корни квадратного уравнения Ц5x2+x-Ц5=0. Не вычисляя u и v, найдите значение выражения u4+v4.

Решение. Найдем дискриминант D данного уравнения: D=12-4Ц5·(-Ц5)=21.

Дискриминант положителен. Уравнение имеет два корня. По теореме Виета 
u+v=-  1
Ц5

; uv=-1.

Выразим u4+v4 через u+v и uv. u4+v4=u4+2u2v2+v2-2u2v2=(u2+v2)2-2(uv)2=(u2+2uv+v2-2uv)2-2(uv)2=((u+v)2-2uv)2-2(uv)2.

Следовательно, 
u4+v4= ж
и 		 1
5
 +2 ц
ш 		2
 
 -2=  71
25

.

Ответ:


 71
25

.


1.1.C12

б) Найдите сумму корней многочлена A (x)=8p2(x)+7p (x)q (x)-q2(x), если 
p (x)=  x2
9
 +  x
9
 -  13
9

, 
q (x)=-  x2
9
 +  8x
9
 +  40
9

.

Решение. Разложим трехчлен 8p2+7pq-q2 на множители: 8p2+7pq-q2=(8p-q)(p+q).

Выразим 8p-q через x. Получим 8p-q=x2-16.

Выразим p+q через x. Получим p+q=x+3.

Следовательно, A (x)=(x2-16)(x+3). Корнями этого многочлена являются числа -4;4;-3.

Сумма корней равна -3.

Ответ:

-3.

Ответы некоторых задач учащийся, проявив смекалку, может найти устно. Так, например, в примере 1.1.B07 б) произведение корней получившегося многочлена равно 
 2
5

. Действительно, его свободный член равен произведению числа 2 и слагаемых, заключенных в скобки, т. е. в два раза больше числа этих слагаемых, а старший коэффициент в 5 раз больше того же числа слагаемых. Правда, обоснование такого решения требует, как мы видим, некоторых рассуждений и выводов. Для решения упражнения 1.1.B06 такой способ не подойдет, так как там придется считать второй коэффициент, непосредственно вычисляя сумму, или же применяя формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии. В заданиях 1.1.B06 и 1.1.B07 учащийся может неверно посчитать число слагаемых (например, 12, а не 13 в 1.1.B06 б), поэтому нужно обратить внимание на эти задачи.

Одни и те же задачи на упрощение выражений и вычисление их значений допускают решение различными способами. При этом какой-то из способов может оказаться более коротким или, как говорят, более рациональным по сравнению с другим. Так, в упражнении 1.1.C01 а) можно сначала вычислить значения выражений x3 и x2 при данном значении переменной, а затем уже найти значение многочлена P(x) в соответствующей точке. Однако, если заметить, что P(x) = (x+ 2)3 + 11, то ответ можно получить менее чем в одну строчку. При решении упражнений 1.3.B02, 1.3.C01, 1.3.D01, 1.3.D11 учащийся может руководствоваться тем, что в подобных задачах подкоренное выражение, как правило, является полным квадратом (так, например,
18±4
Ц
 
14
 
 = 14±4
Ц
 
14
 
 + 4 = (
Ц
 
14
 
 ±2)2

в 1.3.B02 а), и, исходя из этого, решить пример. Можно же, обозначив
  ж
Ц
18 - 4
Ц
14
 
 +   ж
Ц
18 + 4
Ц
14
 

через a, найти, что a2 = 56, и с учетом положительности числа a получить ответ. Еще раз обратим внимание на то, что верное нерациональное решение не может служить основанием для снижения оценки.
 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100