Книга для учителя МЦНМО 2003


 Назад  | Оглавление | Продолжение 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений
§ 1. Степень с натуральным, целым, рациональным показателем
Продолжение


1.2.C07

б) Найдите все возможные значения выражения 
x3+  64
x3

, если 
x2+  16
x2
 =9

.

Решение.
x3+  64
x3
 = ж
и 		x+  4
x
 ц
ш 		ж
и 		x2-4+  16
x2
 ц
ш 		=5 ж
и 		x+  4
x
 ц
ш

;
x2+  16
x2
 = ж
и 		x+  4
x
 ц
ш 		2
 
 -8

. Поэтому 
ж
и 		x+  4
x
 ц
ш 		2
 
 =x2+  16
x2
 +8=17

, откуда
й
к
к
к
к
к
к
к
л
x+  4
x
 =-
Ц
 
17
 
 ,
x+  4
x
 =
Ц
 
17
 
 .

Следовательно,
й
к
к
к
к
к
к
к
л
x3+  64
x3
 =5
Ц
 
17
 
 ,
x3+  64
x3
 =-5
Ц
 
17
 
 .

Ответ:


5
Ц
 
17
 
 ;-5
Ц
 
17
 

.


1.2.D04

б) Какие значения может принимать выражение 
 5x2+4xy-3y2
2x2+xy+3y2

, если 
xy-1+x-1y=  5
2

?

Решение. 
xy-1+x-1y=  5
2

Ы
 x
y
 +  y
x
 =  5
2

.

Умножив каждый член уравнения на 
 x
y

, получим
ж
и 		 x
y
 ц
ш 		2
 
 +1=  5
2
 ·  x
y

.

Сделаем замену переменной. Пусть 
z=  x
y

. Уравнение принимает вид 
z2+1=  5
2
 z

Ы 2z2-5z+2=0 Ы
й
к
к
к
к
к
л
z=2,
z=  1
2
 .

Сделаем обратную замену:
й
к
к
к
к
к
к
к
л
 x
y
 =2,
 x
y
 =  1
2
Ы й
к
к
к
л
x=2y,
y=2x.

Если x=2y, то 
 5x2+4xy-3y2
2x2+xy+3y2
 =


=  20y2+8y2-3y2
8y2+2y2+3y2
 =  25y2
13y2
 =  25
13

.

Если y=2x, то выражение 
 5x2+4xy-3y2
2x2+xy+3y2
 =


=  5x2+8x2-12x2
2x2+2x2+12x2
 =  x2
16x2
 =  1
16

.

Ответ:


 25
13
 ;  1
16

.

В первой главе сборника содержится ряд примеров на вычисление, связанных с символикой функциональной зависимости, основы которой закладываются еще в 8-9 классах и закрепляются на последней ступени обучения. Рассмотрим решения заданий 1.1.B05 а), 1.2.A03 а), 1.3.B09 б), 1.3.B10 а), 1.3.D03 б).


1.1.B05

а) Найдите значение выражения P2(Q (x))-Q2(P (x)) при x=117,399, если P (x)=5x-1 , 
Q (x)=  x+1
5

.

Решение.
P (Q (x))=5·  x+1
5
 -1=x+1-1=x

.


Q (P (x))=  5x-1+1
5
 =  5x
5
 =x

.

Следовательно, P2(Q (x))-Q2(P (x))=x2-x2=0.

Таким образом, значение выражения не зависит от x.

Ответ:

0.


1.2.A03

а) Дана функция f (x)=(2-x)-1+3x-1. Найдите f (4) и f (6) и сравните числа f (f (4)) и f (f (6)).

Решение.
f (4)=  1
2-4
 +  3
4
 =  1
4

.


f (6)=  1
2-6
 +  3
6
 =  1
4

.

f (4)=f (6). Следовательно, f (f (4))=f (f (6)).

Ответ:


f (4)=  1
4
 ;f (6)=  1
4

; f (f (4))=f (f (6)).


1.3.B09

б) Дана функция f (x)=x1/4(4-x)1/4. Докажите, что справедливо равенство f (a)f (b)=f2(a), где a=2+x, b=2-x, а x — некоторое произвольное число из интервала (0;2), и найдите значение выражения (f (a)f (b))2 при x=2-1·71/2.

Решение. f (a)=f (2+x)=(2+x)1/4(2-x)1/4 =((2+x)(2-x))1/4=(4-x2)1/4.

Аналогично, f (b)=f (2-x)=(2-x)1/4(2+x)1/4=(4-x2)1/4.

Таким образом, f (b)=f (a). Следовательно, f (a)f (b)=f2(a). Утверждение доказано.


(f (a)f (b))2=f4(a)= ж
и 		ж
и 		4-x2 ц
ш 		[ 1/4]
 
 ц
ш 		4
 
 =4-x2

.

При x=2-1·71/2 значение выражения равно 
4-  7
22
 =  9
4

.

Ответ:


 9
4

.


1.3.B10

а) Дана функция 
f (x)=
5
Ц
 
x3(12-x)3
 

. Докажите, что справедливо равенство f (a)f (b)=f2(a), где a=6+x, b=6-x, а x — некоторое произвольное число из интервала (0;6), и найдите значение выражения (f (a)f (b))5 при 
x=
Ц
 
35
 

.

Решение.
f (a)=f (6+x)=
5
Ц
 
(6+x)3(6-x)3
 
 =
5
Ц
 
(36-x2)3
 

.

Аналогично, 
f (b)=f (6-x)=
5
Ц
 
(6-x)3(6+x)3
 
 =
5
Ц
 
(36-x2)3
 

.

Таким образом, f (b)=f (a). Следовательно, f (a)f (b)=f2(a). Утверждение доказано.

Значит, (f (a)f (b))5=f10(a)=(36-x2)6.

При 
x=
Ц
 
35
 

значение выражения равно
ж
и 		36- ж
и
Ц
 
35
 
 ц
ш 		2
 
 ц
ш 		6
 

=1.

Ответ:

1.


1.3.D03

б) Даны две функции 
f (x)=
5 ж
Ц  
 
 x-4
x-1
 

и 
g (x)=  4-x5
1-x5

. Докажите тождество f (g (x))=g (f (x)) при x № 1 и найдите значение выражения f (g (2)).

Решение.
f (g (x))=
5 ж
з
з
з
Ц  
 
 4-x5
1-x5
 -4
 4-x5
1-x5
 -1
 
 =
5 ж
Ц  
 
 4-x5-4(1-x5)
4-x5-(1-x5)
 
 =
5 ж
Ц  
 
 3x5
3
 
 =
5
Ц
 
x5
 
 =x

;


g (f (x))=
4- ж
з
и
5 ж
Ц  
 
 x-4
x-1
 
 ц
ч
ш 		5

 
1- ж
з
и
5 ж
Ц  
 
 x-4
x-1
 
 ц
ч
ш 		5

 
 =
4-  x-4
x-1
1-  x-4
x-1
 =  4x-4-x+4
x-1-x+4
 =x

.

Следовательно, f (g (x))=x=g (f (x)). Тождество доказано.

Значение выражения f (g (2))=2.

Ответ:

2.

Заканчивая обзор первых трех параграфов сборника, рассмотрим решения более сложных упражнений 1.1.D04 а), 1.1.D08 б), 1.1.D09 а), 1.1.D10 а), 1.1.D12 б), 1.2.D01 б), 1.2.D06 а), 1.2.D11 б), 1.3.D08 а), 1.3.D12 б).


1.1.D04

а) Найдите p (x), если 2p (x)+p (7-x)=x+4 при любом действительном x.

Решение. Подставим в данное уравнение 7-x вместо x. Получим уравнение 2p (7-x)+p (x)=11-x.

Полученное уравнение и данное уравнение представляют собой систему двух линейных уравнений относительно p (x) и p (7-x).

Умножим обе части данного уравнения на 2: 4p (x)+2p (7-x)=2x+8. Вычтем почленно уравнение 2p(7-x)+p (x)=11-x из полученного уравнения: 4p (x)-p (x)=2x+x+8-11, откуда p (x)=x-1.

Ответ:

p (x)=x-1.


1.1.D08

б) Найдите все значения, которые может принимать выражение 4x2+12xy+9y2-12x-18y-3 при произвольных значениях x и y.

Решение. Обозначим выражение через p и преобразуем его. Получим p=(2x+3y)2-6(2x+3y)-3.

Сделаем замену переменной. Пусть z=2x+3y. Тогда p=z2-6z-3.

Наименьшее значение квадратного трехчлена p=z2-6z-3 равно -12 при 
z=  -(-6)
2
 =3

.

Многочлен p=z2-6z-3 принимает все значения из промежутка [-12;+Ґ).

Ответ:

[-12;+Ґ).
 Назад  |  Оглавление  |  Продолжение 
Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru.
Заказ книги: biblio@mccme.ru. 		Rambler's Top100