§ 2  | Оглавление | Продолжение 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений

§ 3. Степень с действительным показателем

• упражнения, проверяющие усвоение определения показательной функции (1.5.A06, 1.5.B01, 1.5.B02, 1.5.B03, 1.5.B04) и умение пользоваться функциональной символикой (1.5.A02, 1.5.B05, 1.5.C11);
• упражнения на преобразование выражений, содержащих степень с действительным показателем, и на вычисление значений таких выражений и значений показательной функции (1.5.B07, 1.5.B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5.D03, 1.5.D05, 1.5.D10 и др.);
• упражнения на сравнение значений выражений, содержащих степень с действительным показателем, требующие применения свойств степени с действительным показателем и показательной функции (1.5.B11, 1.5.C01, 1.5.C12, 1.5.D01, 1.5.D11);
• прочие упражнения (в том числе связанные с позиционной записью числа, прогрессиями и др.) – 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5.C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.

Решение. Воспользуемся формулой разности квадратов:

f2(x)-g2(x)=

ж и

3·52x-4·5-2x 2

ц ш

2

-

ж и

3·52x+4·5-2x 2

ц ш

2

=

3·52x-4·5-2x+3·52x+4·5-2x 2

·

3·52x-4·5-2x-3·52x-4·5-2x 2

=3·52x·(-4·5-2x)=-12

.

Ответ:

-12.

Решение.

f (x)=102x·0,13x=102x·10-3x=10-x=

ж и

1 10

ц ш

x

.

Основанием функции является число 

1 10

.

Ответ:

f (x)=

ж и

1 10

ц ш

x

. Основание функции — число 

1 10

.

Решение.

f (x)=

3x+1+3x+2 4x+2-4x+1

=

3x(3+32) 4x(42-4)

=

3x·12 4x·12

=

ж и

3 4

ц ш

x

.

Основанием функции является число 

3 4

.

9f (-1)=9

ж и

3 4

ц ш

-1

=9·

4 3

=12

.

Ответ:

f (x)=

ж и

3 4

ц ш

x

; основание функции — число 

3 4

; 9f (-1)=12.

Решение.

g2(x)=

ж и

2x-2-x 14

ц ш

2

=

22x-2+2-2x 196

=

22x+2-2x 196

-

1 98

=

1 14

f (2x)-

1 98

. Следовательно,

f (2x)-14g2(x) =f (2x)-14

ж и

1 14

f (2x)-

1 98

ц ш

=14·

1 98

=

1 7

.

Ответ:

1 7

.

Решение.

f (x)f (y)-g (x)g (y)=

4x+4-x 6

·

4y+4-y 6

-

4x-4-x 6

·

4y-4-y 6

=

4x·4y+4-x·4y+4x·4-y+4-x·4-y 36

-

4x·4y-4-x·4y-4x·4-y+4-x·4-y 36

=

2·4-x·4y+2·4x·4-y 36

=

2(4x-y+4-(x-y)) 36

=

1 3

f (x-y)=3

.

Ответ:

3.

Решение. Из условия задачи следует 6^a-6=6^-a. Тогда, (6^a-6)·6^a=6^-a·6^a=1.

Ответ:

1.

Решение. Воспользуемся свойствами степеней:

232(23)2 (232)2

=

23·2 232

=26-9=

1 8

. Следовательно, f (x)=8^x, а f (2)=8²=64.

Ответ:

64.

Решение. Воспользуемся определением и свойствами степени с рациональным показателем:

ж з и

Ц5 7 Ц 25

ц ч ш

[ 14/3]

=(5[ 1/2]-2/7)14/3=5[ 3/14]·[ 14/3]=5

.

Ответ:

5.

Решение. По условию 6^[(x+y)/2]=a; 6^[(x-y)/2]=b. Перемножив эти равенства почленно, получим 6^[(x+y)/2]·6^[(x-y)/2]=ab Ы 6^{[(x+y)/2]+[(x-y)/2]}=ab Ы 6^x=ab.

Разделив почленно первое из данных равенств на второе, получим 

6[(x+y)/2]:6[(x-y)/2]=

a b

Ы

6[(x+y)/2]-[(x-y)/2]=

a b

Ы

6y=

a b

.

Следовательно, 

4·6x+3·6y=4ab+3·

a b

.

Ответ:

4ab+3·

a b

.

Решение. По условию 

7a+3·7b 7a+7b

=2

. Разделим числитель и знаменатель левой части данного равенства на 7^b.

Получим 

7a-b+3 7a-b+1

=2

.

Сделаем замену. Пусть y=7^a-b. Равенство принимает вид

y+3 y+1

=2

. Решим полученное уравнение:

y+3 y+1 =2 Ы м п н п о y+3=2(y+1), y+1 № 0 Ы м п н п о y=1, y № -1 Ы y=1.

Ответ:

1.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть u=7^x; v=2^x. Выражение

ж и

ж и

7x-2x 2x

ц ш

2

-

ж и 7x-2x ц ш 2   -4·14x 4x-14x

ц ш

2

·

24x 9·196x-6·73x·2x+74x

принимает вид 

ж и

ж и

u-v v

ц ш

2

-

ж и u-v ц ш 2   -4uv v2-uv

ц ш

2

·

v4 9u2v2-6u3v+u4

.

Упростим его:

ж и

ж и

u-v v

ц ш

2

-

(u-v)2-4uv v2-uv

ц ш

2

·

v4(v-u)2 9u2v2-6u3v+u4

=

ж и

(u-v)2 v2

-

u2-2uv+v2-4uv v(v-u)

ц ш

2

·

v4 u2(9v2-6uv+u2)

=

ж и

(v-u)3-u2v+6uv2-v3 v2(v-u)

ц ш

2

·

v4 u2(3v-u)2

=

ж и

v3-3v2u+3vu2-u3-u2v+6uv2-v3 v2(v-u)

ц ш

2

·

v4 u2(3v-u)2

=

ж и

3v2u+2vu2+u3 v2(v-u)

ц ш

2

·

v4 u2(3v-u)2

=

u2(3v2+2vu-u2)2 v4(v-u)2

·

v4 u2(3v-u)2

=

(3v2+2vu-u2)2 (v-u)2(3v-u)2

.

Разложим многочлен 3v²+2vu-u² на множители. Для этого решим уравнение 3v²+2vu-u²=0 как квадратное относительно v.

v= -u± Ц u2+3u2 3 Ы й к к к к к л v=-u, v=  u 3 .

Следовательно, 

3v2+2vu-u2=3

ж и

v-

u 3

ц ш

(v+u)=(3v-v)(v+u)

. Тогда 

(3v2+2vu-u2)2 (v-u)2(3v-u)2

=

(3v-u)2(v+u)2 (v-u)2(3v-u)2

.

Если 3v № u, то, сократив дробь, получим 

(v+u)2 (v-u)2

=

ж и

v+u v-u

ц ш

2

. Условие 3v № u после обратной замены переменных принимает вид 3·2^x № 7^x Ы

ж и

7 2

ц ш

x

№ 3

Ы x № log_[ 7/2]3.

Следовательно, если x № log_[ 7/2]3, то 

f (x)=

ж и

2x+7x 2x-7x

ц ш

2

.

Чтобы вычислить f (-4)-f (4), заметим, что функция

f (x)=

ж и

2x+7x 2x-7x

ц ш

2

четна. В самом деле, область определения функции f(x): D (f )=(-Ґ;0)И(0;+Ґ).

f (-x)= ж и  2-x+7-x 2-x-7-x ц ш 2   .

Умножим числитель и знаменатель дроби на 14^x:

f (-x)= ж и  7x+2x 7x-2x ц ш 2   =f(x).

Поэтому f(-4)=f(4) и f(-4)-f (4)=0.

Ответ:

0.

Решение. Сделаем замену переменной. Пусть u=2^[(x)/4];v=3^[(x)/4].

Выражение принимает вид 

(u6-v6):

2(u4+v4+u2v2) (u-v)2+(u+v)2

= (u2-v2)(u4+u2v2+v4)·

(u-v)2+(u+v)2 2(u4+v4+u2v2)

=(u2-v2)·

2u2+2v2 2

=(u2-v2)(u2+v2)=u4-v4

.

Следовательно, данную функцию можно записать в виде f (x)=2^x-3^x+5·2^[(x)/2]. Тогда f (4)=2⁴-3⁴+5·2²=-45.

Ответ:

f(x)=2^x-3^x+5·2^[(x)/2]; f (4)=-45.

 § 2  |  Оглавление  |  Продолжение 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.