§ 3  | Оглавление | Глава 2 

Глава 1. Вычисления. Преобразование выражений

§ 4. Логарифмические выражения

1. a^{log_a b} = b (a > 0,  a № 1,  b > 0) – определение логарифма.
2. log_c a + log_c b = log_c (ab) (a > 0,  b > 0,  c > 0,  c № 1).
3. 
   

   logc a - logc b = logc

   a b

   
   (a > 0,  b > 0,  c > 0,  c № 1).
4. log_c a^b = blog_c a (a > 0,  c > 0,  c № 1).
5. 
   

   logb a =

   logc a logc b

   
   и, в частности,
   

   loga b =

   1 logb a

   
   (a > 0,  b > 0,  c > 0,  b № 1,  c № 1).

1. log_a a = 1 (a > 0,  a № 1).
2. log_a 1 = 0 (a > 0,  a № 1).
3. log_a a^b = b (a > 0,  a № 1).

1. 
   

   logcb a =

   1 b

   logc a

   
   (a > 0,  c > 0,  c № 1)
2. a^{log_c b} = b^{log_c a} (a > 0,  b > 0,  c > 0,  c № 1)
3. 
   

   logc b logc a

   =

   logd b logda

   
   (a > 0,  b > 0,  c > 0,  d > 0,  
   a № 1,  c № 1,  d № 1).
4. log_c b ·log_d a = log_c a ·log_d b (a > 0,  b > 0,  c > 0,  
   d > 0,  c № 1,  d № 1).

• упражнения на непосредственное использование определения и свойств логарифмов (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, 1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08, 1.6.D10);
• упражнения на вычисление значения логарифмического выражения по данному значению другого выражения или логарифма (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);
• упражнения на сравнение значений двух выражений, содержащих логарифмы (1.6.C11);
• упражнения с комплексным многошаговым заданием (1.6.D11, 1.6.D12).

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов: 

log2781+log279=log3381+log339=

1 3

log381+

1 3

log39=

1 3

log334+

1 3

log332=

4 3

+

2 3

=2

.

Ответ:

2.

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов: 

log224-log26=log2

24 6

=log24=2

.

Ответ:

2.

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов: 

log432+log414-log47=log4

32·14 7

=log464=3.

Следовательно, значение данного выражения равно Ц3.

Ответ:

Ц3.

Решение. tan45^° = 1; 

cos45° =

Ц2 2

. Выражение принимает вид

log20041+log[ 1/2]

Ц2 2

= log[ 1/2]

1 Ц2

=log[ 1/2]

ж и

1 2

ц ш

[ 1/2]

=

1 2

log[ 1/2]

1 2

=

1 2

.

Ответ:

1 2

.

Решение. log_4Ц2(8Ц2)=log_2^5/22^7/2. Воспользуемся свойствами логарифмов:

log25/227/2=

7 2

·

2 5

=

7 5

.

Ответ:

7 5

.

Решение.

64log82-

ж и

1 5

ц ш

log58

=82log82-5-log58

.

Воспользуемся свойствами логарифмов:

82log82-5-log58=8log822-5log51/8=4-

1 8

=

31 8

.

Ответ:

31 8

.

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов:

2log2

32 Ц5+Ц6

+log2

ж и

11+2

Ц

30

ц ш

=2log232-2log2(Ц5+Ц6)+log2

ж и

11+2

Ц

30

ц ш

=10-log2(Ц5+Ц6)2+log2

ж и

11+2

Ц

30

ц ш

=10-log2

ж и

11+2

Ц

30

ц ш

+log2

ж и

11+2

Ц

30

ц ш

=10

.

Ответ:

10.

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов: (1-log₄36)(1-log₉36) =(1-log₄4-log₄9)·(1-log₉4-log₉9) =-log₄9·(-log₉4)=1.

Ответ:

1.

Решение. Преобразуем числитель: log₆42·log₇42 =(1+log₆7)(1+log₇6)=1+log₆7+log₇6+log₆7·log₇6.

Но log₆7·log₇6=1.

Следовательно, числитель равен 2+log₆7+log₇6, а дробь равна 1.

Ответ:

1.

Решение. Воспользуемся свойствами логарифмов.

logsin[(2p)/13]

ж и

2

3 Ц

49

cos

p 13

ц ш

+logsin[(2p)/13]sin

p 13

=logsin[(2p)/13]

ж и

2

3 Ц

49

sin

p 13

cos

p 13

ц ш

=logsin[(2p)/13]

ж и

3 Ц

49

sin

2p 13

ц ш

=logsin[(2p)/13]

3 Ц

72

+logsin[(2p)/13]sin

2p 13

=

2 3

logsin[(2p)/13]7+1 =

2 3

·

1 log7sin  2p 13

+1=

2 3b

+1

.

Ответ:

2 3b

+1

.

Решение. Преобразуем выражение. Перейдем к основанию 7: 

log70320=

log7320 log770

=

log75+log764 log77+log75+log72

=

log75+6log72 1+log75+log27

.

Из условия следует, что 

log75=

1 a

.

Поэтому 

log70320=

1 a +6b 1+  1 a +b

=

1+6ab 1+a+ab

.

Ответ:

1+6ab 1+a+ab

.

Решение. Приведем оба логарифма к основанию 2.

2log[ 1/2]

1 6

=log[ 1/2]

ж и

1 6

ц ш

2

=log236

; 3log₈35=3log_2³35=log₂35.

Таким образом, следует сравнить log₂36 и log₂35. Функция y=log₂t возрастает на (0;+Ґ), следовательно, log₂35 < log₂36.

Значит, 

3log835 < 2log[ 1/2]

1 6

.

Ответ:

3log835 < 2log[ 1/2]

1 6

.

Решение. Преобразуем первое слагаемое: 

1 1+log211+log213

=

1 log22+log2143

=

1 log2286

=log2862

.

Аналогично, второе слагаемое равно log₂₈₆11. Третье слагаемое равно log₂₈₆13. Искомая сумма равна 1.

Ответ:

1.

Решение. Преобразуем сумму: 

1 log3231

+

1 log7231

+

1 log11231

=log2313+log2317+log23111=log231(3·7·11)=log231231=1

.

Преобразуем произведение: 

log73·log117·log311 =

log117·log311 log37

=log117·log711=1

.

Следовательно, данные числа равны.

Ответ:

данные числа равны.

 § 3  |  Оглавление  |  Глава 2 

Copyright © 2003 МЦНМО Интернет версия

Замечания, исправления и пожелания: exam@mioo.ru. Заказ книги: biblio@mccme.ru.