А.Л.Городенцев

Алгебра, 2 семестр (весна 1994)

Задачи экзамена (Exam problems)

[Postscript-файл (30 K)|Запакованный zip-ом postscript-файл (16 K)]

Программа курса

Линейная зависимость. Базис и размерность векторного пространства. Ранг матрицы, его применение к исследованию систем линейных уравнений.
Подпространства векторного пространства, их взаимное расположение. Прямые суммы. Сопряженное пространство и сопряженные базисы. Подпространства как множества решений систем однородных линейных уравнений.
Аффинные пространства. Аффинные и барицентрические координаты. Плоскости аффинного пространства, их взаимное расположение и задание системами линейных уравнений.
Выпуклые множества в аффинном пространстве. Выпуклые оболочки. Опорные гиперплоскости и крайние точки. Выпуклые многогранники и их грани. Теорема Минковского--Вейля. Задача линейного программирования.
Внешняя (грассманова) алгебра векторного пространства. Разложимые поливекторы и подпространства. Определители, их свойства. Теорема о ранге матрицы. Правило Крамера.
Билинейные и полуторалинейные формы, их матрицы. Симметрические билинейные (эрмитовы полуторалинейные) и квадратичные (эрмитовы) формы, их нормальный вид. Закон инерции. Положительно определенные квадратичные (эрмитовы) формы. Теорема Якоби и критерий Сильвестра. Канонический вид кососимметрической билинейной формы.
Евклидовы (эрмитовы) пространства. Ортонормированные базисы и ортогональные (унитарные) матрицы. Длина вектора и угол между векторами. Неравенство Коши--Буняковского и неравенство треугольника. Матрица Грама системы векторов, ее свойства. Расстояние от вектора до подпространства. Объем параллелепипеда. Аффинные евклидовы пространства.
Линейные отображения и изоморфизмы векторных пространств. Линейные операторы и их матрицы. Инвариантные подпространства, собственные векторы и характеристический многочлен линейного оператора. Достаточное условие существования собственного базиса.
Многочлен от линейного оператора. Теорема Гамильтона--Кэли. Норма в векторном пространстве. Норма линейного оператора. Функции от линейного оператора, их вычисление с помощью интерполяционного многочлена. Однопараметрические группы линейных операторов и системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Симметрические (эрмитовы), кососимметрические (косоэрмитовы) и ортогональные (унитарные) операторы в евклидовом (эрмитовом) пространстве , их канонический вид. Приведение квадратичной функции в евклидовом пространстве к главным осям.
Классические линейные группы. Группы аффинных преобразований и движений. Дифференциал (линейная часть) аффинного преобразования. Конгруэнтность фигур в аффинной и евклидовой геометриях. Классификация движений. Группы симметрии правильных многоугольников и многогранников.