На главную страницу НМУ

И.В.Аржанцев (I.Arjantsev)

Группы отражений (Reflexion groups)

Курс по мотивам глав 1-3 книги J. Humphreys "Reflection groups and Coxeter groups"

Задачи к экзамену (Exam problems)

[Postscript (56K)|Zipped postscript (21K)]

Программа

  1. Отражения. Корни. Простые и положительные корни. Сопряженность различных систем положительных и простых корней. Простые отражения образуют систему порождающих.
  2. Функция длины. Условие сокращения и условие обмена. Элемент максимальной длины.
  3. Задание группы отражений образующими и соотношениями.
  4. Параболические подгруппы и минимальные представители смежных классов.
  5. Многочлен Пуанкаре. Индуктивная формула.
  6. Камеры Вейля и фундаментальная область.
  7. Решетка параболических подгрупп. Отражения в $W$.
  8. Граф Кокстера. Неприводимые компоненты.
  9. Ассоциированная билинейная форма. Классификация положительно определенных и неотрицательно определенных графов Кокстера.
  10. Подграфы. Теорема Перрона-Фробениуса.
  11. Кристаллографические системы корней и группы Вейля. Схемы Дынкина. Решетки корней, кокорней, весов и ковесов.
  12. Явные конструкции для систем корней. Старший корень и старший короткий корень. Вычисление порядков групп отражений. Исключительные группы Вейля. Группы $H_3$ и $H_4$.
  13. Классификация правильных многогранников в $R^n$. Символ Шлефли и линейные графы Кокстера.
  14. Полиномиальные инварианты конечных групп. Теорема Гильберта о базисе. Теорема Нетер.
  15. Теорема Шевалле, базисные инварианты.
  16. Набор степеней группы $W$, корректность.
  17. Свободный модуль, модуль ковариантов.
  18. Теорема о сумме и произведении степеней.
  19. Критерий Якоби алгебраической независимости, примеры.
  20. Псевдоотражения, комплексные группы отражений. Теорема Шепарда-Тодда о группах со свободными алгебрами инвариантов.
  21. Знакопеременные многочлены.
  22. Элемент Кокстера, число Кокстера.
  23. Экспоненты группы $W$, связь со степенями. Вычисление степеней групп $E_i,\ i=6,7,8$.

Литература

J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.

Э. Б. Винберг, О. В. Шварцман, Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны, Итоги науки и техники, ВИНИТИ, Совр. проб. мат., Фунд. направления - 1988 - том 29 (Геометрия-2) - стр. 147 - 264.

Э. Б. Винберг и А. Л. Онищик, Семинар по групам Ли и алгебраическим группам. - М.: Наука, 1988.

Н. Бурбаки, Элементы математики, Группы и алгебры Ли, Главы IV-VI, М.: Мир, 1972.

Rambler's Top100