[Gzipped postscript (34K)|Zipped postscript (34K)]
I. Сведения из коммутативной алгебры. [АМ, Бу, Се, BH, Ei]
0. Нётеровы кольца, спектр кольца, носитель модуля.
1. Локализация: определение, спектр локализации кольца, точность функтора локализации, локальность свойства точности последовательности, локализация Hom'ов.
2. Лемма об избегании простых (кроме, быть может, двух) идеалов.
3. Ассоциированные простые идеалы модуля над нётеровым кольцом: непустота Ass, смысл - делители 0 относительно модуля, поведение при локализации, связь с носителем, конечность Ass для КП модуля.
4. Слабо регулярные и регулярные последовательности, факторизация ограниченной справа точной последовательности по регулярной.
5. Глубина: связь с Ext'ами, локальность, глубина в пересечении идеалов, сохранение при переходе к радикалу.
II. Идеалы Фиттинга.
1. Минимальная резольвента: определение, существование/единственность, устройство произвольной резольвенты над локальным кольцом. [Ei, 20.1]
2. Идеалы Фиттинга: определение, инвариантность, связь с локальным числом порождающих, связь с аннулятором, критерий свободности модуля над локальным кольцом. [Ei, 20.2]
III. Критерий Буксбаума-Айзенбуда точности комплексов.
1. Собственно критерий. ([Ei, 20.3], [BH, 1.4], [BE])
2. Следствия: монотонность радикалов $I_{r_j}(\phi_j)$ в конечной свободной резольвенте, эйлерова характеристика и стабильность этих радикалов для модуля с конечной свободной резольвентой и нетривиальным аннулятором. [Ei, 20.3]
IV. Комплексы Игона-Норкотта. [Ei, Appendix 2.6]
1. Определение и доказательство того, что $d^2=0.$
2. Критерий точности.
3. Чьи это конечные свободные резольвенты и чему равны аннуляторы этих модулей. (+[BE3, Thm 3.1 (2) с учетом перенумерации идеалов Фиттинга])
V. Регулярность Кастельнуово-Мамфорда. [Ei, 20.5]
1. Определение и оценки в коротких ТП.
2. Описание в терминах Ext'ов: в общем случае и для фактора по максимальному подмодулю конечной длины.
3. Лемма о том, что модуль, построенный по пучку на $P^n,$ имеет глубину >1. (Примерно [Мам, доп. к лек. 13].)
VI.* Верхняя оценка на регулярность идеала кривой степени d в $P^r.$ Кривые, для которых она достигается. [GLP]
VII. Идеалы малой коразмерности.
1. Теорема Гильберта-Бёрч. [Ei, 20.4]
2. Структура минимальной резольвенты для горенштейновых идеалов высоты 3. [BE2, 1-2]
VIII. Базисы Грёбнера.[Ei, Chap. 15]
1. Порядки на мономах, процесс редукции.
2. Определение, алгоритм Бухбергера.
3. Базис Грёбнера сизигий при специальном выборе порядка. Теорема Гильберта о сизигиях.
IX. Алгебры Ходжа. ([BH, Chap. 7], [BV], [DEP])
1. Определение, достаточное условие в градуированном случае и другие хорошие свойства этого случая. Порядковые алгебры Ходжа.
2. Ассоциированная дискретная алгебра Ходжа, поэтапный переход к ней.
3. Структура порядковой алгебры Ходжа на однородных координатных кольцах грассманиана и многообразий Шуберта. Детерминантные кольца как их дегомогенизации.
X.* Инвариант Макрэя. Наибольший общий делитель (дивизориальное замыкание) идеала с конечной свободной резольвентой. Изоморфность такого идеала идеалу глубины >1. [M, N]
Для сдачи экзамена следует решить 50% задач, желательно, равномерно распределённых по длине списка (задачи 25-30 - необязательны, и их не надо учитывать), и договориться насчёт беседы по программе (пункты, отмеченные *, необязательны).
[АМ] М. Атья, И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. М.: "Мир", 1972.
[Бу] Бурбаки. Коммутативная алгебра. М.: "Мир", 1971. Алгебра. Глава X. М.: "Наука", 1987.
[Мам] Д. Мамфорд. Лекции о кривых на алгебраической поверхности. М.: "Мир", 1968.
[Се] Ж.-П. Серр. Локальная алгебра и теория кратностей // Математика, сб. перев. 1963, 7:5. С. 3-93.
[ВЕ] D. Buchsbaum, D. Eisenbud. What makes a complex exact? // J. Algebra 1973, v.25 N.2, p. 259-268.
[BE2] D. Buchsbaum, D. Eisenbud. Algebra structures for finite free resolutions, and some structure theorems for ideals of codimension 3. // Amer. J.Math. 1977, v.99 N.3, p. 447-485.
[BE3] D. Buchsbaum, D. Eisenbud. What annihilates a module? // J. Algebra 1977, v. 47 N.2, p. 231-243.
[BH] W. Bruns, J. Herzog. Cohen-Macaulay Rings, Cambridge, 1998 (Camb. Stud. Adv. Math. 39).
[BV] W. Bruns, U. Vetter. Determinantal Rings. Springer, 1988 (LNM 1327).
[DEP] C. De Concini, D. Eisenbud, C. Procesi. Hodge Algebras. // Ast\'erisque 91 (1982).
[Ei] D. Eisenbud. Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry. Springer, 1995 (GTM 150).
[GLP] L. Gruson, R. Lazarsfeld, C. Peskine. On a theorem of Castelnuovo, and the equations defining space curves.// Invent. Math. 1983, v.72 N.3, p. 491-506.
[M] R.E. MacRae. On an application of the Fitting invariants. // J. Algebra 1965, v.2 N.2, p. 153-169.
[N] D. G. Northcott. Finite free resolutions. Cambridge, 1976 (Cambridge Tracts in Math. 71).
