В осеннем семестре 2001 года с 14 сентября продолжит работу семинар "Алгебры Ли, римановы поверхности и математическая физика" под руководством С.М.Натанзона, О.В.Шварцмана и О.К.Шейнмана.
Можно ознакомиться с тем, чем занимался семинар ранее:
14 декабря в 17 часов состоится доклад С.К.Ландо
Построение инвариантов узлов, зацеплений и трехмерных многообразий по алгебрам Ли
Исследуя природу инварианта Джонса зацеплений в трехмерной сфере, Виттен понял, что он описывается некоторым фейнмановским интегралом по пространству связностей в тривиальном расслоении над исходной сферой. Эти связности принимают значения в стандартном представлении алгебры Ли SU(N). Рассматривая связности, ассоциированные с другими алгебрами Ли, можно получить другие классические инварианты зацеплений. Более того, конструкция Виттена переносится и на зацепления в произвольных трехмерных многообразиях, откуда можно получать и инварианты самих этих многообразий. После появления инвариантов Васильева ученик Виттена Бар-Натан сразу увидел, что виттеновские инварианты относятся к васильевскому типу, и дал их описание в терминах хордовых диаграмм. Для случая узлов Концевич придал этому описанию более концептуальный характер.
Во всех этих конструкциях необходимо, чтобы на алгебре Ли было задано инвариантное невырожденное скалярное произведение, и они работают для любой такой алгебры. В докладе будет обсуждаться вопрос о том, действительно ли без такого скалярного произведения на алгебре Ли нельзя обойтись.
7 декабря заседание семинара не состоится. Программа на 14 декабря будет объявлена позже.
30 ноября в 17 часов состоится доклад В.А.Кисунько
Голоморфные формы на ростках аналитических множеств
Как известно из классической теории алгебраических кривых, любая голоморфная форма на одномерном комплексном многообразии, задаваемом неособой кривой в проективной плоскости получается как вычет Пуанкаре от некоторой мероморфной 2-формы, имеющей исходную кривую в качестве дивизора полюсов.
Как показал Гриффитс, в случае гиперповерхностей в проективном пространстве (возможно особых) также определенные формы, и только они обладают свойством, которое в неособом случае характеризует голоморфные формы среди всех остальных, а именно: при любом полиномиальном отображении след формы голоморфно продолжается на всю сферу Римана.
В докладе будет обсуждаться локальный вариант этого утверждения; как следствия получаются теоремы о строении полугруппы ростка кривой на комплексной плоскости.
В пятницу 23 ноября, 17.00, ауд. 206 состоится продолжение доклада О.К.Шейнмана "Конформные блоки и проективно-плоская связность на пространстве модулей римановых поверхностей с отмеченными точками"
В прошлый раз больше внимания было уделено обсуждению алгебр Кричевера-Новикова, и других необходимых ингредиентов, и меньше -- самой конструкции. В этот раз предполагается обратная пропорция.
The next talk: 23.11.2001, 17.00, room 206 O.Sheinman Conformal blocks and projective flat connection on the moduli space of the Riemannian surfaces with marked points
9 ноября семинар не состоится. 16 ноября в 17 часов состоится доклад О.К.Шейнмана
Рассматривается пучок алгебр (матричных) дифференциальных операторов первого порядка Кричевера-Новикова и пучок фермионных представлений этих алгебр над пространством модулей. Определяются соответствующие конформные блоки. С использованием операторов, близких к казимирам, строится проективно-плоская связность. Ввиду объемности материала изложение будет "крупноблочным", но докладчик постарается показать вывод прективной плоскостности. На физическом языке предмет доклада называется "теория Весса-Зумино-Новикова-Виттена с алгебрами Кричевера-Новикова калибровочных и конформных симметрий".
26 октября в 17 часов состоится доклад Е.М.Крейнес
Алгебраическая кривая вместе с заданной на ней непостоянной рациональной функцией, имеющей не более трех критических значений, называется парой Белого. Детский рисунок Гротендика - это вложенный граф на сфере с g ручками. Известна теорема об эквивалентности категории пар Белого и категории детских рисунков (Шабат, Воеводский). Однако вопрос отыскания пары Белого, отвечающей данному детскому рисунку, не поддается решению даже для рода 0. Доклад будет посвящен геометрической интерпретации "лишних" (т.е. не отвечающих комбинаторике исходного детского рисунка) решений систем уравнений на пару Белого данного детского рисунка и различным возможностям их появления.
19 октября в 17 часов продолжается доклад С.Ю.Оревкова (см. запись от 12 октября ниже).
12 октября в 17 часов состоится доклад С.Ю.Оревкова
Вещественные плоские псевдоголоморфные кривые имеют много общего с вещественными плоскими алгебраическими кривыми, но легче поддаются классификации. Обсуждению их взаимосвязей и будет посвящен доклад. Будет рассказано также недовно полученная автором полная изотопическая классификация плоских вещественных псевдоголоморфных кривых 8-ой степени.
5 октября в 17 часов состоится доклад С.М.Львовского
Пусть $X_n$ --- (тонкое) пространство модулей стабильных кривых рода 0 с $n$ отмеченными (упорядоченными) точками над полем комплексных чисел. Сингулярные когомологии этого пространства удается полностью вычислить. В докладе будет рассказано (по возможности --- с набросками доказательств) это вычисление по работе, указанной в заглавии (опубликована в Trans. AMS, 1992, vol. 130). Будут также приведены рекуррентные формулы для многочленов Пуанкаре пространств $X_n$, в цитированной работе отсутствующие.
28 сентября в 17 часов состоится доклад П.Г.Гриневича, посвященный его совместной с С.П.Новиковым работе
Дано доказательство формулы для топологического заряда $\theta$-функциональных решений уравнения Sine-Gordon, предложенной в работе Дубровина и Новикова.
Дорогие участники семинара!
Начиная со следующего заседания семинар, как и в прошлые годы, будет проходить по пятницам с 17 часов до 19 часов в НМУ.
21 сентября состоится доклад И.М.Парамоновой
В прошлом семестре была рассказана классификация простых конечномерных супералгебр Ли и отмечены сходства и различия с аналогичной классификацией для алгебр Ли. В настоящем докладе будет рассказано об относительно недавних результатах двух групп авторов: Каца и Ченга с одной стороны и Лейтеса и доклачика с другой, по классификации простых бесконечномерных супералгебр Ли векторных полей. Будут рассказаны мотивировки Софуса Ли и Эли Картана, решавших аналогичную задачу для алгебр Ли.
Заседание 13 сентября.
Ю.М.Бурман. Формула индекса Уитни и интегралы Лапласа
Гладкие кривые на плоскости (погружения $S^1 \to \Real^2$) классифицируются, с точностью до гомотопии гладких кривых, одним числом --- индексом. Неформально говоря, индекс это число оборотов, которое касательный вектор к кривой делает вокруг начала координат, когда его точка приложения пробегает кривую. Классическая формула Уитни связывает индекс кривой общего положения с алгебраическим числом ее точек самопересечения.
Погружения $S^n \to R^{2n}$ при произвольном четном $n$ также классифицируются одним числом. Классический результат С.Смейла связывает индекс погружения общего положения с алгебраическим числом его точек самопересечения. В докладе представлена явная интегральная формула для индекса погружения $S^n \to R^{2n}$. При ее доказательстве используется техника разложения интегралов вида $\int a(x) \exp(-\lambda f(x))\,dx$ (интегралов Лапласа) в асимптотический ряд по параметру $\lambda$. Как следствие получается явная формула для образующей группы $H^n_{\rm DR}(V(n,2n)) = R$ когомологий де Рама пространства $n$-реперов в $R^{2n}$ (многообразия Штифеля).