И.В.Аржанцев

Коммутативная алгебра, комбинаторика и инварианты конечных групп (по работам Р. Стенли) (Commutative algebra, combinatorics and invariants of finite groups, after R.Stanley)

List of problems

[Postscript (55K)|Zipped postscript (20K)]

Программа

Цель курса, основанного преимущественно на обзоре Р. Стенли [1], -- ввести ключевые для коммутативной алгебры понятия (коэн-маколеево кольцо, горенштейново кольцо, сизигии, канонический модуль, полное пересечение и т.д.) и проиллюстрировать эти понятия на примере алгебр инвариантов конечных групп. С одной стороны, класс алгебр, возникающих как алгебры инвариантов конечных групп, достаточно богат для подобных иллюстраций. С другой стороны, этот подход наполняет конкретикой абстрактные понятия и, на наш взгляд, существенно упрощает их понимание. В курсе будут активно использоваться ряды Пуанкаре градуированных алгебр. Если позволит время, будут рассмотрены комбинаторные приложения.

Курс планируется достаточно элементарным. Он будет вполне доступен заинтересованным студентам второго курса.

Конечно порожденные градуированные алгебры, теорема Гильберта о базисе, ряд Пуанкаре градуированной алгебры, инварианты конечных линейных групп, контрпример к гипотезе Мэллоу-Слоана;
Необходимые сведения о рядах Пуанкаре: задание рациональной функцией, многочлен Гильберта для стандартной градуированной алгебры.
Целые расширения, лемма Нетер о нормализации (градуированная версия), однородные системы параметров (осп).
Размерность алгебры. Теорема о совпадении размерности с порядком полюса.
Теорема Маколея о размерностях компонент стандартных алгебр: нормальные множества мономов, О-последовательности.
Теорема Нетер об инвариантах конечных групп. Характеры и изотипное разложение. Формула Молина и ее применение к вычислению суммы $S(k)$.
Кольца Коэна-Маколея: эквивалентные определения. Несколько лемм о свободных модулях. Регулярные и геометрически регулярные последовательности.
Коэн-маколеевость алгебры инвариантов конечной группы. Явная конструкция для осп в алгебре инвариантов. Оценки на степени элементов.
Последовательности размерностей для алгебры Коэна-Маколея. Глубина алгебры.
Полные пересечения и гиперповерхности.
Теорема Шевалле-Шепарда-Тодда.
Полуинварианты конечных групп, порожденных отражениями: теорема о регулярном представлении, модули ранга 1, явный вид порождающей $f_{\lambda}$.
Модули сизигий, эквивалентные модули, свободная резольвента, гомологическая размерность алгебры, теорема Гильберта о сизигиях. Минимальная свободная резольвента.
Канонический модуль, тип модуля, горенштейновы кольца, цоколь, критерий горенштейновости Стенли для алгебр Коэна-Маколея без делителей нуля.

Литература

[1] R. Stanley, Invariants of finite groups and their applications to combinatorics // Bull. Amer. Math. Soc. 1 (1979), 475-511.

[2] R. Stanley, Hilbert functions of graded algebras // Adv. in Math 28 (1978), 57-83. [3] R. Stanley, Combinatorics and commutative algebra, Birkh\auser, second edition, 1996. [4] Э.Б.Винберг, В.Л.Попов, Теория инвариантов, Итоги науки и техники, ВИНИТИ, Совр. проб. мат., Фунд. направления -- 1989 - том 55 - стр. 137 -- 314.