[Postscript (30K)|Zipped postscript (12K)]
1. Алгебры и σ-алгебры множеств. Аддитивные и σ-аддитивные меры, σ-аддитивность и непрерывность. Аппроксимируемость множеств из σ-алгебры множествами из порождающей ее алгебры. Лемма Бореля--Кантелли. Абсолютно непрерывные и сингулярные меры. Теорема Радона--Никодима. Внешние меры.
2. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Продолжение σ-аддитивной меры с полуалгебры на лебеговскую σ-алгебру.
3. Мера Лебега на Rn. Борелевские и лебеговские множества. Существование неизмеримых по Лебегу множеств.
4. Измеримое пространство и пространство с мерой. Операции над измеримыми функциями. Соотношения между различными видами сходимости измеримых функций. Существование сходящейся почти всюду подпоследовательности у сходящейся по мере последовательности измеримых функций. Теорема Егорова.
5. Конструкция интеграла Лебега на общем пространстве с мерой. Основные свойства интеграла. Неравенства Чебышева, Коши--Буняковского, Йенсена. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
6. Случайная величина, распределение вероятностей, функция распределения, плотность. Примеры случайных величин с дискретным и непрерывным распределением. Распределение случайного вектора. Распределение функций от случайных величин. Многомерное гауссовское распределение.
7. Математическое ожидание. Формула для математического ожидания функции от случайной величины. Моменты случайной величины. Свойства дисперсии, ковариации, коэффициента корреляции. Моменты гауссовского распределения.
8. Независимые события и независимые случайные величины. Попарная независимость и независимость в совокупности. Лемма Бореля--Кантелли для независимых событий. Распределение случайного вектора с независимыми компонентами. Теорема Фубини. Распределение суммы независимых случайных величин. Формула свертки. Испытания Бернулли. Биномиальное и полиномиальное распределения.
9. Дисперсия суммы независимых случайных величин. Закон больших чисел в форме Чебышева. Доказательство Берноштейна теоремы Вейерштрасса. Теорема Шеннона--Макмиллана--Бреймана для схемы Бернулли. Метод Монте-Карло.
10. Закон нуля-единицы Колмогорова. Бесконечность числа возвращений в начало координат при симметричном случайном блуждании на Z. Усиленный закон больших чисел в форме Кантелли и в форме Колмогорова.
11. Условные вероятности. Условное математическое ожидание относительно конечного или счетного разбиения, его геометрический и статистический смысл. Формулы полной вероятности и полного математического ожидания.
12. Цепи Маркова. Эргодическая теорема для однородной цепи Маркова с конечным числом состояний.
13. Характеристические функции, их основные свойства. Связь между распределениями и характеристическими функциями. Теоремы сходимости для характеристических функций. Доказательство центральной предельной теоремы методом характеристических функций. Интегральная и локальная теоремы Муавра--Лапласа.
