На главную страницу НМУ
А.Л.Городенцев (A.Gorodentsev)
Алгебра, 3 семестр (Algebra, 3rd semester)
Домашний экзамен (Take-home exam)
[Postscript (87K)|Zipped postscript (87K)]
Программа курса
- Категории, функторы, эквивалентности категорий,
категорные конструкции линейной алгебры,
пределы и задание объектов "универсальными свойствами".
- Группы, конечные группы и группы многогранников,
действие групп, теоремы Силова, симметрическая группа,
тип симметрии тензора, функторы Шура.
- Пространства с операторами: лемма Шура, полная приводимость
представлений конечных и компактных групп, описание
неприводимых sl2-модулей, описание неприводимых
представлений симметрической группы.
- Свойства полупростых модулей над ассоциативными алгебрами,
теорема о двойном коммутаторе, теорема Бернсайда (A линейно
порождает Endk(V) если A-модуль V неприводим над
замкнутым полем k)
- Кольцо представлений конечной группы: полупростота групповой
алгебры, теория характеров, соотношения на размерности
неприводимых представлений, индуцирование и ограничение
представлений, двойственность Фробениуса.
- Алгебра симметричесих функций и теория представлений
Sn и GLN (по крайней мере, явное описание
неприводимых Sn- и GLN-модулей при помощи
диаграмм Юнга). Исчисление таблиц Юнга и умножение полиномов Шура
(в стиле книжки Фултона "Young Tableaux")
- (если позволит время) Алгебры Клиффорда, спинорное накрытие
ортогональной группы и многообразия спиноров (т.е. многообразие
максимальных изотропных подпространств, лежащих на невырожденной
квадрике над алгебраически замкнутым полем), триальность
(каноническая тройка квадрик в P7, в которой каждые
две квадрики параметризуют пару семейств 3-мерных подпространств,
заметающих 3-ю квадрику) и алгебра октав.
