На главную страницу НМУ

М.З.Ровинский (M.Rovinski)

Теория полей классов (Class field theory)

(рекомендовано для 3 курса)

Записки лекций (Lecture notes)

[Gzipped postscript|Zipped postscript]

Экзамен (Take-home exam)

[Postscript (22K)|Zipped postscript (10K)]

Многие вопросы теории чисел естественно приводят к изучению конечных расширений поля рациональных чисел. Так, попытки решения уравнений вида x^p+y^p=1 рациональных числах, приводят к рассмотрению кругового поля, получаемого присоединению к Q корней степени p из единицы. В терминах этого поля также удобно описывать символ Лежандра и доказывать квадратичный закон взаимности.

Основное внимание будет уделено явным конструкциям расширений полей, в частности, комплексному умножению и явным законам взаимности, а также их приложениям.

Используемая когомологическая техника и аналогия между числовыми полями и полями функций кривых будут объяснены по ходу дела.

Примерное (видимо, слишком оптимистическое) содержание

1. Введение: теорема Ферма в некоторых частных случаях.
2. Теория Галуа: поля, их расширения и автоморфизмы.
   1. Конечные поля.
   2. Абелевы расширения полей "со многими корнями из единицы".
3. Нормирования и локальные поля.
   1. Кольца целых и единицы.
   2. Ветвление и фильтрация на локальных группах Галуа.
   3. Локальная теория полей классов: мультипликативные группы и абелевы группы Галуа; группы Брауэра; невырожденность символа Гильберта; K₂.
   4. Формальные группы и явные конструкции абелевых расширений локальных полей.
   5. p-расширения локальных полей.
4. Символ степенного вычета и законы взаимности.
   1. Квадратичный закон взаимности и круговые поля.
   2. Биквадратичный закон взаимности и абелевы расширения поля гауссовых чисел.
   3. Кубический закон взаимности.
   4. Закон взаимности Эйзенштейна для круговых полей.
   5. Символ норменного вычета.
5. Числовые (и глобальные) поля.
   1. Нормирования и пополнения.
   2. Кольца целых и единицы.
   3. Идеалы и группа классов идеалов.
   4. Кольца аделей и идели.
   5. Глобальная теория полей классов: группы классов иделей и абелевы группы Галуа.
   6. Дзета-функция Дедекинда. Теорема Чеботарева о плотности.
6. Явные конструкции абелевых (и почти абелевых) расширений числовых полей.
   1. построение Q^ab с помощью значений тригонометрических функций;
   2. построение Q^ab+ε с помощью значений гамма-функции;
   3. построение абелевых расширений мнимых квадратичных полей с помощью значений модулярной и эллиптических функций: теория "комплексного умножения".
7. Мнимые квадратичные поля с однозначным разложением на множители в кольце целых (и почему "e в степени пи корней из 163" — целое, с точностью до 10^-12.
8. Восстановление числовых полей по абсолютной группе Галуа.