Гомологии Хованова узлов и зацеплений появились недавно, но уже успели приобрести большую известность в математике. За прошедшее время появились модификации этой теории, одна из которых в конечном итоге привела Дж.Расмуссена к элементарному доказательству гипотезы Милнора о роде торического узла (первоначально доказанной при помощи калибровочной теории). Мы разберем это доказательство, а также некоторые смежные вещи.
1. Полином Джонса и скобка Кауфмана. Полиномы Джонса и Александера как результаты замены переменной в полиноме HOMFLY.
2. Гомологии Хованова Kh(L). Определение, корректность, примеры вычисления и связь с полиномом Джонса. Гомологии Хованова зеркальных образов зацеплений. Точная последовательность, возникающая при разрешении перекрестка.
3. Гомологии Хованова-Ли Kh'(L): возмущение дифференциала, приводящее к тривиальности гомологий. Cпектральная последовательность с членом E_2 = Kh(L), сходящаяся к Kh'(L).
4. Явное описание образующих в теории Хованова-Ли и определение s(L) (инварианта Расмуссена).
5. Свойства s(L): зеркальные узлы, связная сумма узлов, явное вычисление для зацеплений с положительными перекрестками.
6. Кобордизмы зацеплений, оценка четырехмерного рода узла и доказательство гипотезы Милнора.
7*. Гомологии Хегора-Флоера (комбинаторная конструкция из работы Ожвата-Манолеску-Саркара) и связь с полиномом Александера.
8**. Конструкция Хованова, дающая sl(3)-квантовый полином Джонса.
9**. Гомологии Хованова-Розанского. (число звездочек обратно пропорционально вероятности разбора темы).
