На главную страницу НМУ

Алексей Зыкин

Введение в алгебраическую теорию чисел

Задачи (Exercise sheets)

[Листок 1.pdf |Листок 1.ps |Листок 1.zip(ps) ]
[Листок 2.pdf |Листок 2.ps |Листок 2.zip(ps) ]
[Листок 3.pdf |Листок 3.ps |Листок 3.zip(ps) ]
[Листок 4.pdf |Листок 4.ps ]
[Листок 5.pdf |Листок 5.ps ]

Дополнительную информацию о курсе см. на сайте ГУ ВШЭ: http://vyshka.math.ru/1011/numbers.html

Примерная программа курса

1. Введение. Немного о диофантовых уравнениях (теорема Ферма, конгруэнтные числа и эллиптические кривые)

2. Теория Галуа и конечные поля. Основные факты из теории Галуа. Структура конечных полей. Уравнения над конечными полями. Квадратичный закон взаимности.

3. p-адические числа. Сравнения и p-адические числа. Лемма Гензеля. Теорема Островского.

4. Квадратичные формы. Представление чисел квадратичными формами над Q_p и над Q. Теорема Минковского-Хассе.

5. Десятая проблема Гильберта. Разрешимость, перечислимость, диофантовость. Рекурсивные функции. Доказательство Матиясевича.

6. Поля алгебраических чисел. Разложение на простые идеалы, ветвление, дискриминант, число классов идеалов.

7. Эллиптические кривые. Базовые свойства. Теорема Морделла-Вейля.

8. Дзета-функции. Распределение простых чисел и дзета-функция Римана. Теорема Дирихле о простых числах в арифметических прогрессиях. Функциональное уравнение для дзета-функции Дедекинда и формула для вычета.