На главную страницу НМУ

Андрей Александрович Кустарёв

Гладкие, симплектические и комплексные действия тора

Лекции

[ Лекции 23/12/2015 . pdf]

Программа курса

  1. Действия компактных групп на гладких многообразиях. Главные орбиты, многообразия неподвижных точек. Веса действия в неподвижных точках. Почти комплексные многообразия и почти комплексные действия групп.

  2. Симплектические многообразия. Теорема Дарбу и ее эквивариантный аналог. Линейная теория: связь с почти комплексной и эрмитовой структурой. Примеры: кокасательное расслоение, кэлеровы многообразия, орбиты коприсоединенных представлений. Многообразие Кодаиры-Терстона, теорема о симплектическом вложении (формулировка), пример МакДафф односвязного некэлерова симплектического многообразия.

  3. Симплектические и гамильтоновы действия компактного тора, отображение моментов. Симплектическая редукция. Теорема Атьи-Гийемина-Стернберга: образ отображения моментов является выпуклым многогранником. Симплектические действия тора половинной размерности, теорема Дельзанта, дельзантовы многогранники.

  4. Торические многообразия. Конусы и аффинные торические многообразия, веера, неособые и симплициальные веера. Орбиты, морфизмы, дивизоры. Конструкция Кокса (категорный фактор) и однородные координаты. Торические многообразия, происходящие из многогранников, и их проективные вложения.

  5. Когомологии торических многообразий (теорема Данилова-Юркевича). Классы Черна и классы Понтрягина. Классы Черна торических многообразий, теорема Берштейна-Кушниренко-Хованского (если успеем).

  6. Эквивариантные когомологии. Теорема локализации, теорема Дюйстермаата- Хекмана. Применения: все симплектические действия окружности в размерности четыре гамильтоновы. Условия на числа Черна и эквивариантные когомологии симплектических и почти комплексных действий окружности с малым числом неподвижных точек, а также действий, свободных вне неподвижных точек.

  7. Квазиторические многообразия и момент-угол многообразия. Некэлеровы комплексные структуры на момент-угол многообразиях. Стабильно комплексное расщепление касательного расслоения квазиторического многообразия.

Список литературы

[1] John W. Milnor and James D. Stasheff. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, 76. Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1974.
[2] В. И. Арнольд, А. Б. Гивенталь. Симплектическая геометрия. Динамические системы 4, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 4, ВИНИТИ, М., 1985, 5-135.
[3] William Fulton. Introduction to Toric Varieties. Annals of Mathematics Studies, 131. The William H. Roever Lectures in Geometry. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.
[4] Michele Audin. The Topology of Torus Actions on Symplectic Manifolds. Progress in Mathematics, 93. Birkhauser, Basel, 1991.
[5] D. McDuff, D.A. Salamon. Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press, April 1995. Second Edition, 1998.
[6] David A. Cox, John B. Little, and Henry K. Schenck. Toric varieties. Graduate Studies in Mathematics, vol. 124, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.
[7] Victor Buchstaber and Taras Panov. Toric Topology. arXiv:1210.2368.
[8] M.F. Atiyah, R. Bott. The moment map and equivariant cohomology. Topology vol. 23, Issue 1, 1984, 1?28.
[9] Askold G. Khovanskii. Newton polyhedra and toric varieties. Funk. Anal. i Priloz 11 (1977), no. 4, 56?64 (Russian); Funct. Anal. Appl. 11 (1977), no. 4, 289-296 (English translation).
Rambler's Top100