На главную страницу НМУ

Дмитрий Валерьевич Талалаев

Интегрируемые модели статистической физики и некоторые задачи маломерной топологии

Планируется уделить внимание как классическим методам в теории инвари-антов узлов, таким как полином Джонса и характеры алгебры Темперли-Либа, инварианты Тураева-Решетихина, Тураева-Виро, так и недавним результатам в старших размерностях: квази-инвариантам 2-узлов и связанным с ними кон-струкциям в комбинаторной 4-х мерной квантовой топологической теории поля.

Лекции (Lechure notes).pdf

[ Лекции ]

Список вопросов для экзамена (15.01.18 15:00 ауд.303):

1. Узлы, зацепления, косы, теорема Маркова,
2. Фундаментальная группа дополнения к трилистнику,
3. 2-узлы, теорема Розмана, 2-косы,
4. Скобка Кауфмана, полином Джонса,
5. Квандлы, когомологии квандлов,
6. Конструкция инвариантов 1-узлов,
7. Квандлы и инварианты 2-узлов,
8. Описание категории представлений Uq(sl2),
9. Конструкция универсальной R-матрицы для Uq(sl2),
10. Выражение для намагниченности в 1-мерной модели Изинга,
11. Корреляционная длина в 1-мерной модели Изинга,
12. Вершинное описание 2-мерной модели Изинга,
13. Связь 6-и вершинной модели и модели XXZ Гейзенберга,
14. Уравнения Бете для 6-и вершинной модели,
15. Инвариант Тураева-Решетихина категории ленточных графов,
16. Случай Uq(sl(2)) и полином Джонса,
17. Конечные редукции электрического решения уравнения тетраэдров Замолодчикова,
18. Описание тетраэдральных когомологий для электрического решения,
19. Определение уравнения n-симплекса,
20. Конструкция коммутативного семейства для 3-х мерной статистической модели,
21. Теорема о квази-инвариантах 2-узлов.

План:

1. Постановка задачи построения инвариантов узлов, 2-узлов, 4-х мерных многообразий
2. Описание классических методов исследования инвариантов узлов
   a. Фундаментальная группа дополнения
   b. Полином Александера
   c. Полином Джонса
3. Квандлы, их когомологии и приложения к задаче об инвариантах 1-узлов
4. Краткое введение в квантовые группы
   a. Биалгебры, алгебры Хопфа
   b. Уравнение Янга-Бакстера
   c. Янгианы
   d. Сведения из теории представлений
5. Краткое введение в статистическую физику
   a. Парадигма Гиббса
   b. Физические феномены интегрируемых статистических моделей
   c. Метод анзаца Бете
   d. Термодинамический предел
6. Инварианты типа Тураева-Решетихина
7. Полином Джонса и представления алгебры Темперли-Либа
8. Квандлы и инварианты 2-узлов
9. Уравнение тетраэдров Замолодчикова
   a. Физический смысл
   b. Примеры решений
   c. Старшие косы
   d. Кластерная реализация
10. 3-х мерные интегрируемые статистические модели
11. Квази-инварианты 2-узлов
12. Комбинаторные 4-х мерные топологические теории поля