На главную страницу НМУ

Алексей Викторович Пенской

Анализ на многообразиях

Повторный экзамен

Листки

[ листок 1 | листок 2 | листок 3 | листок 4]
[ листок 5 | листок 6 | листок 7 | листок 8]
[ листок 9 ]

Программа курса

1. Регулярные параметрические кривые и (k-мерные) поверхности в аффинных пространствах. Воспоминания из анализа: теорема о неявной функции, теорема об обратной функции, теорема о ранге. Неявный способ задания поверхностей. Гладкие функции и отображения поверхностей. Касательные векторы, касательное пространство. Производная вдоль касательного вектора.

2. Гладкие многообразия. Гладкие функции и отображения многообразий. Разбиение единицы.

3. Касательные векторы и дифференциалы отображений. Касательное и кокасательное пространство.

4. Погружения, вложения, подмногообразия.

5. Лемма Сарда. Трансверсальность. Слабая теорема Уитни.

6. Векторные поля. Коммутатор векторных полей. Интегральные кривые векторного поля, однопараметрическая группа, порожденная векторным полем.

7. Распределения и теорема Фробениуса.

8. Тензорные поля, дифференциальные формы. Риманова метрика, форма объема. Внешний дифференциал.

9. Производная Ли. Тождество Картана. Операция Ходжа. Связь внешнего дифференциала с градиентом, ротором и дивергенцией.

10. Ориентация многообразия. Плотности. Интегрирование плотностей и форм на многообразиях. Метрика и форма объема, объем. Интегрирование по цепям, теорема Стокса для интегрирования по цепям.

11. Многообразия с краем. Теорема Стокса для интегрирования на многообразиях с краем. Связь с формулами Грина, Стокса и Гаусса-Остроградского.

12. Элементы теории групп и алгебр Ли.

13. Действия групп Ли. Однородные многообразия.

14. Когомологии де Рама, когомологии де Рама с компактным носителем. Лемма Пуанкаре. Длинная точная последовательность Майера-Виеториса.

15. Свойства когомологий де Рама (конечномерность, формула Кюннета и так далее). Теорема де Рама. Теорема Ходжа (без доказательства).