На главную страницу НМУ
А.Л.Городенцев
Алгебра 3 семестр (обязательный курс)
Это - третья часть трехсеместрового курса. Имеются также
материалы по первому и второму семестрам.
Gzipped
postscript (34K; may be viewed directly by some versions
of Ghostview)|Запакованный zip-ом postscript-файл (34
K)]
Программа курса
Полилинейная алгебра и представления
Тензорные произведения
- Полилинейные отображения
- Тензорное произведение векторных
пространств и модулей.
- Тензорные произведения операторов.
- Двойственность между $(V^*)^{\otimes n}$ и $(V^{\otimes n})^*$
(полилинейные формы как тензоры)
- Свертки.
- Стандартные
канонические изоморфизмы типа $U^*\otimes V^*\otimes W=\hom(U\otimes
V,W)=\hom(V,\hom(U,W))$ (линейные операторы как тензоры).
Практические навыки:
Отыскание базисов и размерностей тензорных произведений; вычисление
тензорных произведений и сверток полилинейных форм и операторов;
жорданова нормальная форма тензорной степени оператора; умение
по-разному интерпретировать один и тот же тензор посредством
канонических изоморфизмов. Вырожденность полилинейной формы и
детерминанты матриц многомерного формата (по желанию преподавателей и
студентов).
Симметрическая алгебра
- Симметрическая алгебра как фактор тензорной алгебры и как
подпространсто (при char$(k)=0$) тензорной алгебры.
- Симметрическое
произведение и симметризация.
- Отождествление $S^n(V^*)=(S^n(V))^*$
с симметрическими $n$-линейными формами на $V$ и с однородными
полиномами степени $n$ на $V$ (полная поляризация однородного
многочлена).
- Свертки, дифференцирования и поляры симметричных
форм, формула Тейлора и ее геметрический смысл.
- Порождаемость
$S^n(V)$ чистыми степенями вида $v^{\otimes n}$ (принцип Аронгольда).
Практические навыки
Переходы между стандартными базисами в пространстве
симметричных $n$-линеных форм на $V$, пространстве однородных
многочленов степени $n$ на $V$ и пространстве $S^n(V^*)$: умение
вычислять симметрические произведения и свертки в терминах этих
базисов; вычисление поляризаций; жордановы нормальная форма
симметрической степени линейного оператора. Дискриминант однородного
многочлена от нескольких переменных (по желанию).
Внешняя алгебра
- Внешняя алгебра как фактор тензорной алгебры и как
подпространсто (при char$(k)=0$) тензорной алгебры.
- внешнее
произведение и альтернирование.
- Отождествление
$\Lambda^k(V^*)=(\Lambda^k(V))^*$ с косыми $k$-линейными формами на
$V$ и с грассмановыми полиномами степени $k$ на $V$.
- Свертки,
кососимметричных форм, спаривание
$\Lambda^kV\otimes\Lambda^{n-k}V\longrightarrow\Lambda^n V$
- Внешние степени операторов и матриц, миноры и соотношения Лапласа
- Критерии разложимости поливектора
Практические навыки
Переходы между стандартными
базисами в пространстве кососимметричных $k$-линеных форм на $V$,
пространстве однородных грассмановых многочленов степени $k$ на
$V$ и пространстве $\Lambda^n(V^*)$: умение вычислять внешние
произведения и свертки в терминах этих базисов; жордановы
нормальная форма симметрической степени линейного оператора.
Комплексы Кошуля и Де Рама (по желанию).
Грассман, Плюккер, Сегре и Веронезе
- Грассманиан как обобщение проективного пространства.
- Клеточное
разбиение.
- Гауссовы биномиальные коэффициенты.
- Аффинные карты и
функции перехода.
- Отображение Плюккера.
- Отображение Веронезе.
- Отображение Сегре.
Практические навыки
Размерность грассманиана, число точек грассманиана над конечным
полем, размерности клеток, квадрика Веронезе в $P_2$, квадрика Сегре
в $P_3$, сколько плоских коник касается пяти данных прямых на
$P_2$.
$G(2,4)$ и геометрия прямых в $P_3$
- Комплексные проективные квадрики в $P_3$ и $P_5$.
- Квадрика
Плюккера в $P_5$ как многообразие прямых в $P_3$.
- геометрическая интерпретация циклов Шуберта в терминах прямых в
$P_3$.
- Пересечение клеток Шуберта.
Практические навыки
Чем изобразятся на квадрике Плюккера два семейства прямолиненых
образующих невырожденной квадрики в $P_3$; какую фигуру заметут
в $P_3$ все прямые, пересекающие каждую их трех данных; сколько
прямых пересекает четыре заданных попарно скрещивающихся прямых в
(нашем обычном) пространстве и т. п.
Пространства с операторами
- представление соотношений, приводимость, разложимость, полупростота
и гомомоморфизмы представлений
- представления групп,
диагонализуемость операторов, представляющих конечную группу
- одновременная диагонализуемость конечных и компактных коммутативных
групп
- Одномерная унипотентная абелева группа.
- Группы Ли и алгебры Ли
(начальные определения и примеры: $GL$, $SL$, $SO$, $SU$).
- Представления и характеры конечных (компактных) абелевых групп,
двойственность Понтрягина и преобразование Фурье
Практические навыки
Описание алгебр Ли групп $GL$, $SL$, $SO$, $SU$, строение
(и простота) этих групп в размерностях $>2$,
отождествление $SU_2$ с единичными кватернионами и универсальное
накрытие $SU_2\longrightarrow SO_3$; примеры на вычисление
характеров и двойственность абелевых грпп.
$sl_2$-модули
- Алгебра Ли $sl_2$: образующие и соотношения.
- Представления в
$S^n(C^2)$.
- Описание конечномерных неприводимых модулей.
- Оператор Казимира и полная приводимость.
- Обобщения на
$\gsl_3$-модули (набросок)
Практические навыки
Примеры $\gsl_2$-модулей,
действие $sl_2$ и $SL_2$ на бинарные
формы.
Предсталения конечных групп
- Лемма Шура.
- Усреднение по группе: изготовление инвариантных
проекторов и скалярных произедений.
- Полная приводимость
представлений.
- Прямые суммы и тензорные произведения представлений.
- Характеры.
- Функции на группе, инвариантное эрмитово произведение,
соотношения ортогональности для эрмитовых матричных элементов и
характеров.
- Разложение регулярного представления на
неприводимые.
- Соотношения на размерности неприводимых представлений
и техника их отыскания.
Практические навыки
Умение вычислять характер данного представления и раскладывать его
на неприводимые; умение раскладывать оператор, коммутирующий с
действием группы, в прямую сумму гомотетий; знание неприводимых
представлений и классов сопряженности для `` маленьких'' групп
($S_n$ и $A_n$ с $n\le5$, $SL_n(\ZZ/p\ZZ)$ при $n,p>$, групп
многогранников, диэдров); характеры внешних степеней канонического
представления $S_n$ самосовмещениями $(n-1)$-мерного симплекса.
Групповая алгебра конечной группы
- `` Формальное'' и `` функциональное'' определение групповой
алгебры.
- Свертки.
- Описание центра групповой алгебры.
- Представление группы и представления групповой алгебры.
- Разложение групповой алгебры в сумму матричных алгебр.
- Тензорное произведение колец и алгебр.
- Сужение и расширение
скаляров.
- Различные описания ндуцированного представления.
- Двойственность Фробениуса.
- Кольцо представлений.
Практические навыки
умение вычислять
характеры ограниченных и индуцированных
представлений и раскладывать их на неприводимые; понимание конструкции
индуцирования. Более тонкие арифметические соотношения (типа того, что
размерность неприводимого представления делит порядок группы -- по
желанию).
Полупростые модули над некоммутативными кольцами
- Простые модули и лемма Шура.
- Критерии полупростоты.
- Кольцо
$R$-эндоморфизмов полупростого $R$-модуля.
- Эндоморфизмы
$R$-модуля, перестановочные со всеми $R$-эндоморфизмами
(``double commutator theorem'': $\hom_{\hom_R(M,M)}(M,M)\sim
R$).
- Теорема Бернсайда.
- Запись унипотентной подгруппы в $GL_n$
верхними унитреугольными матрицами.
Действие $S_n$ на $V^{\otimes n}$
$S_n$-инвариантные эндоморфизмы $V^{\otimes n}$
и $GL(V)$-инвариантные эндоморфизмы $V^{\otimes n}$: соответствие
между неприводимыми представлениями симметрических и линейных
групп. Тип симметрии тензора. Симметризаторы Юнга.
Неприводимые представления $S_n$ (набросок).
Практические навыки
Представление о том, что кроме $S^n$ и $\Lambda^n$ бывают и другие
полиномиальные функторы, взаимно-однозначно соответствующие
диаграммам Юнга: поведение неприводимых представлений симметрической
группы при ограничении (индуцировании) на меньшую (большую)
симметрическую группу хотя бы для $S_n$ с $n\le 5$.
Процедурные вопросы
Курс рассчитан на один семестр, 2 часа лекций и 2 часа упражнений в
неделю. Для получения зачета необходимо в течении семестра решить
некоторое количество обязятельных задач, выданных преподавателем
индивидуально каждому студенту (или вольнослушателю). Экзамен
предполагается сделать `` домашними'' --- оценка будет выставлена
по итогам устного обсуждения письменной работы, в которой
решаются заранее выданные за 1-2 недели до экзамена задачи.
Результаты зачета и экзамена за третий семестр курса
алгебры, читаемого на мех-мате МГУ никак не
учитываются в ходе предстоящего экзамена.
Семинары ведут
В.Долотин и
П.Кацыло
