М.Э.Казарян, С.К.Ландо, И.М.Парамонова,

Материалы занятий (Exercises)

[Postscript-файл (318 K)|Запакованный zip-ом postscript-файл (82 K)]

Программа курса математического анализа 2 курс, 3 семестр

Кривые в R^n. Интеграл по кривой. Замена переменных в интеграле. Поведение интеграла при замене пути интегрирования.
Многообразия. Подмногообразия в R^n. Локальные координаты. Гладкие отображения подмногообразий. Многообразие как класс эквивалентности подмногообразий. Атласы и карты. Функции перехода.
Векторные поля. Касательный вектор как класс эквивалентности кривых, проходящих через данную точку. Касательная плоскость к многообразию в точке. Дифференцирование кольца функций, определяемое векторным полем. Поведение векторных полей при замене координат (полярные координаты).
Дифференциальные формы на многообразиях. 1-формы. Дифференциал функции. Дифференциал формы. Внешнее произведение дифференциальных форм. Форма объема. Теорема де Рама. Ориентация.
Подмногообразия. Ограничения функций, векторных полей и дифференциальных форм на подмногообразия.
Гладкие отображения многообразий. Координатная запись отображения. Касательные отображения. Диффеоморфизмы. Поведение функций, векторных полей и дифференциальных форм при заменах переменных.
Интегрирование дифференциальных форм. Многообразия с краем. Инвариантность интеграла при диффеоморфизме. Формула Стокса. Интегрирование по частям.
Производная Ли.