И.С. Красильщик и А.М. Вербовецкий

Геометрия дифференциальных уравнений: когомологические аспекты

Курс является продолжением курса, прочитанного И.С. Красильщиком в весеннем семестре. Предполагается знакомство с основами геометрии дифференциальных уравнений, однако краткое введение будет сделано на первых лекциях. См. также "Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики", М., Факториал, 1997.

Необходимый материал из гомологической алгебры будет разобран на семинарах.

Задачи к экзамену (Exam problems)

Gzipped postscript (41K; may be viewed directly by some versions of Ghostview)
Zipped postscript (41 K)

Программа курса

Введение
- Основные геометрические структуры на бесконечно продолженных дифференциальных уравнениях (напоминание)
- Алгебра линейных дифференциальных операторов над коммутативными кольцами (напоминание и продолжение)
Когомологическая теория симметрий и операторов рекурсии
- Алгебраическая модель дифференциальных уравнений: алгебры со связностями
- Алгебра векторзначных дифференциальных форм и скобки Фролихера--Нийенхейса
- Комплекс, ассоциированный с плоской связностью
- C-когомологии дифференциальных уравнений
- Геометрический смысл групп H_C^i, i=0,1,2.
Операторы рекурсии и нелокальная теория
- Накрытия в категории дифференциальных уравнений
- Примеры и приложения
- Нелокальные симметрии и тени
- Действие операторов рекурсии в алгебрах нелокальных симметрий
Когомологическая теория законов сохранения и лагранжев формализм со связями
- Алгебраическая теория сопряженного оператора и формула Грина
- C-спектральная последовательность
- Члены E_0 и E_1
- Теоремы Нетер, обратная задача вариационного исчисления
Горизонтальные когомологии дифференциальных уравнений
- Горизонтальные когомологии с коэффициентами в линейных накрытиях
- Горизонтальный комплекс совместности
- Приложения к C-когомологиям и C-спектральной последовательности: теоремы о k строчках