[Postscript (26K)|Zipped postscript (8K)]
[Postscript (20K)|Zipped postscript (7K)]
Топологические пространства и операции над ними. Гомеоморфизм и гомотопия. Гомотопическая эквивалентность. Фундаментальная группа и классификация накрытий. Локально тривиальные расслоения, свойство накрывающей гомотопии. Старшие гомотопические группы. Точные последовательности пар, троек и расслоений. Расслоения Хопфа и Серра. Классификация поверхностей. Многообразия. Классические многообразия: сферы, торы, группы Ли, многообразия Грассмана, Штифеля и флаговые. Ориентация. Эйлерова характеристика и существование ненулевых векторных полей. Группа кос. Степень отображения сферы в сферу. Векторные расслоения и операции над ними. Касательные расслоения и расслоения реперов.
Группы гомологий и когомологий. Их гомотопическая инвариантность и функториальность. Клеточные пространства. Приемы вычисления гомологий: точные последовательности пары и тройки, гомологии надстройки, последовательность Майера-Вьеториса, гомологии букета. Клеточный комплекс клеточного пространства. Теория Морса. Теоремы Гуревича и Уайтхеда. Умножение в когомологиях. Двойственности Пуанкаре и Александера. Инвариант Хопфа. Гомологическая интерпретация степени отображения, индекса векторного поля. Комплекс де Рама. Лемма Пуанкаре. Теорема де Рама (без доказательства). Гомологии с коэффициентами в произвольной абелевой группе и локальной системе. Формулы универсальных коэффициентов и Кюннета. Главные расслоенные пространства. Универсальные расслоения. Пространства $K(\pi,n)$. Характеристические классы Штифеля-Уитни, Эйлера, Черна и Понтрягина. Теоремы (не)погружаемости и (не)вкладываемости многообразий в $R^n$. Теория Смейла-Хирша (без доказательств).
Первое препятствие к сечению расслоения. Спектральная последовательность. Спектральная последовательность расслоения. Гомологии классических групп Ли. Формула Лефшеца для числа неподвижных точек. Гомологии конфигурационных пространств и групп кос. Пространства петель. Гомологии петлевых пространств сфер. Формула включений-исключений и симплициальные разрешения. Гомологии дополнения к набору плоскостей в $R^n$. Узлы и простейшие их инварианты.
