И.Аржанцев (I.Arjantsev)

Торические многообразия (Toric varieties)

Задачи к экзамену (Exam problems)

[Postscript (40K)|Zipped postscript (15K)]

Программа курса

Необходимые сведения из алгебраической геометрии и теории алгебраических групп преобразований.
Первый способ определения торического многообразия: функции перехода между картами мономиальны. Способ второй: действие тора с открытой орбитой и условие нормальности.
Аффинные торические многообразия: примеры и классификация. Идеал соотношений для аффинного торического многообразия и его образующие. Критерий гладкости.
Кольца Коэна- Маколея: два эквивалентных определения (регулярные последовательности и свободность модуля над подалгеброй, порожденной системой параметров). Ряды Гильберта градуированных алгебр. Теорема Хохстера о коэн-маколеевости аффинных торических многообразий. Доказательство в симплициальном случае. Построение ряда Гильберта в этой ситуации. Многогранники Ньютона и их ряды Гильберта.
$T$-орбиты на аффинных торических многообразиях. Описание аффинных открытых $T$-инвариантных подмножеств.
Склейка. Веера и произвольные торические многообразия. Теорема Сумихиро.
$T$-орбиты и их замыкания на произвольных торических многообразиях. Геометрический смысл двойственных конусов: однопараметрические подгруппы.
Построение торического многообразия по выпуклому многограннику.
Кольца нормирования. Кольца дискретного нормирования. Валюативный критерий полноты алгебраического многообразия.
Критерий полноты торического многообразия.
Классификация гладких полных торических поверхностей.
Разрешение особенностей алгебраического многообразия. Собственные морфизмы. Разрешение особенностей торического многообразия. Двумерные поверхности и цепные дроби Хирцебруха-Янга.
Дивизоры Вейля, дивизоры Картье и главные дивизоры. Группа классов дивизоров и группа Пикара. Вычисление этих групп для торических многообразий.
Линейные расслоения на торических многообразиях. Многогранник сечений. Критерии порождаемости глобальными сечениями, очень обильности и обильности.
Критерий проективности торического многообразия. Пример полного непроективного трехмерного многообразия. Лемма Чжоу для торических многообразий. Теорема Демазюра.

Литература:

W. Fulton, Introduction to Toric Varieties, Annals of Math. Studies, 131 (1993);
В.И.Данилов, Геометрия торических многообразий, УМН, 33, номер 2, (1978), 85-134;
T.Oda, Convex bodies and algebraic geometry: an introduction to the theory of toric varieties. Berlin: Springer-Verlag, 1988;