На этой странице собрана информация о докладах на общеуниверситетском семинаре "Глобус" в осеннем семестре 2000 года.
What follows is the list of talks at the IUM general seminar ``Globus'' delivered during fall semester, 2000. For most of the talks abstracts in Russian are given, an for some (those for which lecturer's name in English is present) there are lecture notes in postscript format.
Сколько решений может иметь уравнение
2
X + PX + Q=0,
где P и Q - известные матрицы второго порядка,
X - неизвестная матрица второго порядка (с комплексными
коэффициентами)? В докладе будет расскаано об этой и друих
задачах некоммутативной линейной алгебры.
Обобщенные коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона - это кратности в разложении тензорных произведений конечномерных неприводимых представлений полупростых алгебр Ли. В докладе будет рассказано о новом семействе явных комбинаторных формул для этих коэффициентов, недавно полученных докладчиком совместно с Аркадием Беренштейном. Эти выражения тесно связаны с комбинаторными параметризациями канонического базиса Люстига. В свою очередь, изучение этих комбинаторных параметризаций замечательным образом сводится к изучению геомтерии многообразия вполне положительных элементов в полупростой группе Ли; эти элементы, недавно введенные Люстигом, являются естественным обобщением вполне положительных матриц. (Напомним, что вполне положительные матрицы - это кваадратные матрицы, все миноры которых вещественны и положительны; эти матрицы активно изучались в тридцатые годы в классических работах Гантмахера и Крейна по осцилляции в механических системах.)
В докладе будет рассказано о последних результатах по проблеме Римана-Гильберта (проблеме построения системы фуксовых уравнений с предписанными особыми точками и монодромией) как в ее классической постановке (на сфере Римана), так и в случае произвольной римановой поверхности.
Конструкция Васильева инвариантов конечного порядка позволяет, в случае узлов в трехмерном пространстве, описать эти инварианты в терминах так называемых "весовых систем" -- функций на хордовых диаграммах. В докладе будет рассказано о связи весовых систем с некоторым классом инвариантов графов и о возникающих при этом алгебраических структурах на графах. Доклад доступен всем, начиная со студентов 1-го курса. Предварительных знаний не требуется.
Будет описано новое представление уравнения Шредингера, содержащее в качестве частного случая вторичное квантование. Оно позволяет квантовать термодинамику (при этом квантуется как энтропия, так и свободная энергия) и получить распределение (существенно отличающееся от гиббсовского), которое при T=0 доставляет ненулевую энергию системы (сверхтекучесть).
Gzipped
postscript (may be viewed directly by some versions of ghostview) (64K)
Zipped postscript (64K)
Недавно был решен старый вопрос на стыке гомологической алгебры и гармонического анализа: были полностью описаны аменабельные (=усреднимые) алгебры мер на локально компактных группах. Будет рассказано о том, какую роль в решении вопроса сыграло изучение плоских банаховых модулей и какие конкретные формы принимает плоскость модулей в разных областях анализа.
Системы алгебраических уравнений, многогранники Ньютона которых достаточно общим образом расположены относительно друг друга, удивительным образом оказываются достаточно простыми. Для таких систем строится явная теория исключений. Удается также явно вычислить произведение корней в группе $(С*)^n$ таких систем. Все это связано с довольно забавной геометрией выпуклых тел и алгебраической геометрией. Никаких специальных знаний не предполагается.
Невинный (школьный) вопрос об обратимости теоремы Гаусса о среднем сферическом значении гармонической функции оказался глубокой математической проблемой. Я расскажу историю вопроса от первых работ Кебе и Лебега начала прошлого века до результатов полученных в последние годы.
Знаменитая (и все еще не доказанная) гипотеза Ходжа описывает классы когомологий на комплексных проективных многообразиях, реализуемые алгебраическими подмногообразиями. Она была доазана для двумерных классов когомологий С.Лефшецом (задолго до того, как Ходж сформулировал свою гипотезу). Примерно четверть века назад А.Вейль предложил довольно общую конструкцию когомологических классов, которые согласно гипотезе Ходжа должны быть алгеброаическими, но в некоторых случаях являются "экзотическими", то есть не могут быть получены из двумерных алгебраических классов. Он предложил рассматривать построенные им экзотические классы как источник контрпримеров к гипотезе Ходжа. В докладе будет дан отвте (полученный Б.Мооненом и докладчиком) на следующий естественный вопрос: когда именно конструкция Вейля приводит к экзотическим классам когомологий?
