На главную страницу НМУ

Положение о лиценциате НМУ

Наряду с обычными дипломами НМУ, выдаваемым в соответствии с установленной практикой и по окончании полного курса обучения, в НМУ вводится диплом промежуточной степени, называемый "диплом лиценциата НМУ".

1. Диплом лиценциата выдается всем, кто овладел программой лиценциата — утвержденным списком стандартных минимальных знаний, ожидаемых от студентов НМУ по окончании двух лет обучения.
2. Получение диплома лиценциата не является обязательным условием для дальнейшего обучения в НМУ и не требуется для получения диплома НМУ. Диплом и программа лиценциата НМУ вводятся для того, чтобы

   а. Предоставить студентам НМУ возможность оценить свои знания примерно посередине полного курса, и, при необходимости, скорректировать свое дальнейшее образование тогда, когда сделать это еще достаточно просто.

   б. Предоставить возможность учиться в НМУ, с конкретным результатом в виде диплома лиценциата, тем студентам, которые по тем или иным причинам не заинтересованы в прохождении полного курса.

   в. Зафиксировать набор базовых знаний, которые преподаватели 3-5 курсов имеют право считать известными.

3. Студенты НМУ, сдавшие на "отлично" 12 экзаменов по обязательным курсам первых двух лет обучения, получают диплом о лиценциате без дополнительных условий. Остальным соискателям диплом лиценциата выдается по результатам собеседования. Соискатели, сдавшие 12 экзаменов по обязательным курсам первых 2х лет обучения в НМУ, допускаются к собеседованию автоматически. Соискатели, не сдавшие экзамены по каким-либо из обязательных курсов, допускаются к собеседованию после сдачи дополнительных экзаменов, назначаемых им по каждому из несданных предметов и проводимых той же комиссией, что и основное собеседование.

   Собеседование назначается решением правления НМУ, по просьбе соискателя, переданной через учебную часть. Проводится оно комиссией из предподавателей НМУ, назначаемой также правлением. Правление имеет право отказать соискателю, если он/она уже пытались пройти собеседование два раза и не преуспели.

4. Дополнительный экзамен, предусмотренный в п. 3, проводится по утвержденной программе лиценциата. Проведение нескольких экзаменов одновременно и совмещение их с собеседованием допускается, по усмотрению комиссии, но не в ущерб качеству каждого из экзаменов. Экзамен не засчитывается как экзамен по курсу НМУ.
5. Утвержденная программа лиценциата доводится до сведения студентов, публикуется в доступном виде на сайте НМУ, и снабжается подробными библиографическими ссылками.

   Программа лиценциата

   (Принята 14 декабря 2006 г)

   [Gzipped postscript (57K)|Zipped postscript (57K)]

   Первый семестр

   Анализ-1

   • Множества: теорема Кантора-Бернштейна; неограниченность роста кардинальных чисел; лемма Цорна (или эквивалентное ей представление о трансфинитной индукции).
   • Полнота R; топология Rⁿ, свойства компактов и непрерывных функций на компактах.
   • Метрические пространства: теорема о неподвижной точке сжимающего отображения; теорема о пополнении; полнота пространства ограниченных непрерывных функций.
   • Интеграл от кусочно непрерывной функции одного переменного и формула Ньютона-Лейбница.
   • Канторово множество гомеоморфно Z_p.
   • Разложение в степенные ряды: формула Тейлора для функций одного переменного; область сходимости степенного ряда; разложение элементарных функций.

   Геометрия-1

   • Векторные пространства: построение базиса; двойственность.
   • Ориентированный объём, полилинейные косые формы и определители.
   • Евклидова геометрия в Rⁿ: ортогональное проектирование; вычисление углов; квадрат объёма равен определителю Грама.
   • Cловарик "линейная алгебра — проективная геометрия"; топология RP₁, RP₂, RP₃=\SO₃(R) и CP₁; проективная инвариантность двойного отношения.
   • Аффинная геометрия в Rⁿ: замкнутая выпуклая фигура является пересечением опорных полупространств; теорема Минковского-Вейля [выпуклая оболочка конечного набора точек является компактным пересечением конечного числа полупространств и наоборот].
   • Геометрия Лобачевского: модели Клейна и Пуанкаре; вычисление длин и площадей; группа изометрий; фундаментальная область модулярной группы.

   Алгебра-1

   • Комбинаторика: мультиномиальные коэффициенты; подсчёт числа отображений [инъективных, сюрьективных, монотонных и т.п. между конечными (упорядоченными) множествами.
   • Поле C, кольца Z/(n) (вычеты) и Q[x]/(f) (алгебраические числа); характеристика поля, гомоморфизм Фробениуса.
   • Матричная алгебра; строчный ранг матрицы равен столбцовому; отыскание собственных векторов линейных отображений.
   • Группы: действие на множестве, длина орбиты; G/ker(f)=im(f); группы многогранников и симметрические группы, простота A₅ и разрешимость A₃ и A₄.
   • Делимость: китайская теорема об остатках [K/(∩I_ν)=⊕(K/I_ν), если идеалы I_ν в коммутативном кольце K таковы, что 1∈I_ν+I_μ для всех μ, ν]; K евклидово ⇒ K — область главных идеалов ⇒ K факториально ⇒ K[x] факториально.
   • Грассманова алгебра: Λ^kF\cdotΛ^{n-k}F^t=\det F\cdot E для n\times n\Д матрицы\footnote{Λ^kF~--- это \binom nk\times\binom nk матрица, составленная из всевозможных k\times k\Д миноров матрицы F} F; теорема Гамильтона\Д Кэли (над любым коммутативным кольцом); стандартный вид кососимметричной формы (над любым полем), пфаффиан.
   • Стандартные базисы пространства симметрических многочленов\footnote{полные и элементарные симметрические функции, полиномы Ньютона и Шура} и переходы между ними; результант и дискриминант.

   Второй семестр

   Анализ-2 (локальный анализ многих переменных)

   • Дифференциал функции и многомерная формула Тейлора.
   • Теоремы о неявном и обратном отображениях.
   • Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений и его зависимости от начальных условий.
   • Множества меры нуль и нигде не плотные множества. Лемма Сарда.
   • Теорема трансверсальности Тома.

   Алгебра-2 (линейная алгебра и геометрия)

   • Строение конечно порождённых модулей над евклидовым кольцом, конечно порождённых абелевых групп и конечномерных \kk[x]\Д модулей.
   • Жорданова нормальная форма матрицы ("теорема об элементарных делителях"); вычисление функций от матриц (полиномиальная интерполяция).
   • Квадратичные формы (над любым полем): ортогонализация; ортогональная группа порождается отражениями; отыскание сигнатуры вещественных форм.
   • Эрмитовы формы: неравенство |(a,b)|\le||a||\cdot||b||; продолжения симплектической структуры на R^{2n} до эрмитовой образуют зигелево полупространство.
   • Спектральная теорема для нормальных операторов, её специализации для евклидово и эрмитово (анти)\,самосопряжённых и изометрических операторов; полярное разложение.
   • Тензорная алгебра векторного пространства; отыскание линейного носителя данного тензора\footnote{т.\;е. наименьшего векторного подпространства W\subset V, такого что заданный тензор лежит в T(W)}, многообразия Сегре, Грассмана и Веронезе; поляризация коммутативных и грассмановых многочленов (в нулевой характеристике).
   • Кватернионы; двулистные накрытия \SU(2)\to\SO₃(R), \SU(2)\times\SU(2)\to\SO₄(R); расслоение Хопфа \SU₂=S^3\to S^2.

   Топология-1 (наглядная топология, гомотопии и понятие многообразия)

   • Степень отображения окружности в окружность и ее приложения: теорема Брауэра для двумерного диска, алгебраическая замкнутость поля C.
   • Классификация двумерных поверхностей (триангулируемый случай). Векторные поля на двумерных поверхностях: индексы особых точек и теорема Эйлера\Д Пуанкаре.
   • Приёмы вычисления фундаментальных групп: накрытия, представление в виде комплекса. Задание групп образующими и соотношениями и теорема Зейферта-Ван\Д Кампена. Классификация накрытий с помощью фундаментальной группы.
   • Определение гладкого многообразия. Разбиение единицы. Гладкая (или PL-) аппроксимация. Существование римановой метрики. Вложимость в евклидово пространство.
   • Степень отображения многообразия в многообразие и ее приложения: теорема Брауэра для n\Д мерного диска, несуществование ненулевых касательных векторных полей на чётномерных сферах.

   Третий семестр

   Анализ-3 (анализ на многообразиях)

   • Теорема о локальном экстремуме ограничения функции на подмногообразие (условный экстремум и множители Лагранжа).
   • Лемма Морса, функции Морса плотны в пространстве дифференцируемых функций.
   • Векторные поля и их интегральные траектории; производные Ли тензорных полей, L_X=d\circ\imath_X+\imath_X\circ d; теорема Фробениуса об интегрируемости распределения m\Д плоскостей.
   • Формула Стокса на гладком многообразии и ее специализации в R^2 и R^3.
   • Комплекс Де\,Рама и теорема Де\,Рама (без доказательства).

   Топология-2 (теория гомологий)

   • Простейшие мотивирующие приложения групп гомологий, такие как препятствие w₁ к ориентируемости многообразия, или классификация двулистных накрытий над многообразием, или препятствие w₂ к построению тройки ортонормированных касательных векторных полей на трёхмерном многообразии.
   • Симплициальные гомологии, теорема инвариантности (без доказательства). Простейшие методы вычисления гомологий (вырезание, гомологии пары, точные последовательности пары и Майера-Виеториса).
   • Форма пересечений на гомологиях (триангулированных) гладких многообразий. Двойственность Пуанкаре на (неориентированных) гладких многообразиях. Индекс зацепления многообразий в Sⁿ. Двойственность Александера.
   • Комплекс Морса и его гомологии.

   Алгебра-3 ("алгебра стрелок"и представления)

   • Диаграмный поиск, длинная точная последовательность гомологий; точность дифференциалов Кошуля и Де\,Рама на S(V)\otimesΛ(V).
   • Описание конечномерных неприводимых \mathfrak{sl}₂\Д модулей.
   • Представления конечных групп: полная приводимость; ортогональность неприводимых характеров; размерности неприводимых представлений делят |G|, равный сумме их квадратов; неприводимые представления симметрической группы.
   • Полупростые модули над ассоциативными алгебрами: теорема плотности\footnote{для точного полупростого A-модуля M, если B=\mathrm{End}_A(M), то A=\mathrm{End}_B(M)}, теорема Бернсайда\footnote{если комплексное пространство с операторами неприводимо, то линейная оболочка этих операторов совпадает со всей матричной алгеброй}.
   • Естественные преобразования функторов и эквивалентности категорий; сопряжённые функторы; лемма Ионеды, представимые функторы и задание объектов универсальными свойствами.

   Четвёртый семестр

   Комплексный анализ

   • Эквивалентность трех определений голоморфности (дифференцируемость, аналитичность, равенство нулю контурного интеграла).
   • Интегральная формула Коши для рядов Лорана, вычеты; теорема Сохоцкого; принцип аргумента.
   • Критерий однолистности, предел однолистных функций.
   • Аналитическое продолжение: принцип симметрии, принцип непрерывности.
   • Теорема Римана об отображении односвязных областей.
   • Римановы поверхности, формула Римана-Гурвица.

   Дифференциальная геометрия

   • Кривые и поверхности в Rⁿ: репер Френе; параллельный перенос; средняя и гауссова кривизна; первая и вторая квадратичные формы; формула Гаусса\Д Бонне.
   • Связности в векторных расслоениях, евклидовы и эрмитовы связности; плоскость связности равносильна обращению в нуль её кривизны.
   • Дифференциально\Д геометрическое описание классов Чженя и Эйлера.
   • Римановы многообразия: связность Леви\,-\!Чивита; уравнения геодезических в форме Гамильтона и Лагранжа-Эйлера; уравнения Эйнштейна.

   Анализ-4 (теория меры)

   • Теорема о продолжении меры.
   • Предельный переход под знаком интеграла Лебега; теорема Фубини.
   • Теорема Радона-Никодима.
   • Теорема Рисса о разложении в ряд Фурье, преобразование Фурье на R и общее представление о двойственности Понтрягина.
   • Закон больших чисел и центральная предельная теорема.

   Алгебра-4 (коммутативная алгебра и аффинная алгебраическая геометрия)

   • Теорема Гильберта о базисе; все конечно порождённые алгебры над полем нётеровы.
   • Свойства целых элементов в расширениях колец, лемма Гаусса\footnote{если fg=h в B[x], и старшие коэффициенты f,g равны единице, то все коэффициенты h целы над A\subset B тогда и только тогда, когда целы все коэффициенты и у f и у g}; конечно порождённая алгебра над произвольным полем \kk может быть полем только если все её элементы алгебраичны над \kk.
   • Расширения полей: степень трансцендентности; поле разложения и алгебраическое замыкание; описание конечных полей; соответствие Галуа.
   • Теорема Гильберта о нулях; максимальный спектр, топология Зарисского; антиэквивалентность категории аффинных алгебраических многообразий над алгебраически замкнутым полем \kk и категории конечно порождённых приведённых \kk\Д алгебр.

   ---